笛卡尔树

      笛卡尔树是一棵二叉树，树的每个节点有两个值，一个为key，一个为value。光看key的话，笛卡尔树是一棵二叉搜索树，每个节点的左子树的key都比它小，右子树都比它大；光看value的话，笛卡尔树有点类似堆，根节点的value是最小（或者最大）的，每个节点的value都比它的子树要大。

       zoj_2243笛卡尔树的构造，开始被topcoder上的教程吸引去看这题。题目中说这种数据结构叫treap然后就按照treap的insert加上左旋右旋去做了，结果果断TLE。然后网上找了一下关于笛卡尔树的资料，发现了一些问题的端倪。

       首先，treap和笛卡尔树从形式上来说是完全一样的，即是一颗二叉搜索树和二叉堆的结合（不是严格意义上的二叉堆，因为二叉堆是一颗完全二叉树，而treap不是）。但是他们的目的也许不太一样。treap更大的意义在于为了维持BST的平衡型而找到的一种随即化构造的方案。在treap中，insert的时候节点的value值是随机生成的。因此在逐个insert节点的时候能够保证treap的统计意义上的平衡。然而，笛卡尔树的目的更多是为了rmq问题和LCA问题的转化。

       其次，我们可以看到，在zoj_2243中，如果使用treap,按照题意一个个插如节点，随即化就被打破了，judge系统的数据也许不随机，从而导致treap的链化，弱化了平衡性，理想的NlogN的复杂度，可能退化到N^2，导致最后的TLE（可能左旋右旋操作的消耗也对应能有所影响）.

       最后，找到了一种排序之后直接构造笛卡尔树的方法。首先将节点序列按照key从小到大排序，然后按照顺序插入节点，注意到排序之后，插入的节点的key值一定是树中最大的，所以只需查找最右端的路径，找到一个节点A[i]的value大于待插入节点的value,同时A[i]->right的value小于待插入节点的value。找到之后，只需将A[i]的right指向待插入的节点，A[i]的right原来指向的节点赋值给待插入节点的left指针。注意到查找最右路径的方向，如果从下到上查找，复杂度比较容易分析O(N)（因为查找过的节点必然会旋转到某个节点的左子节点，因此每个查找过的节点只会被查找一次），如果从上倒下，比较复杂（和最右端的最终的路径长度有关吧），会超过N，甚至更高，可能为O(N^2)。

       另外，找到一种使用排序加左旋的方法，就是一样先排序，然后使用treap插入节点，可以发现，所有的旋转都为左旋。这种方法也TLE了，这种方法有一个很重要的意义，就是分析了上个方法中从上到下扫描的复杂度。因为这两种方法的效率是等价的，都TLE。

       最后，同样的题ZOJ是5M的，POJ是2M的，我用了从上到下2.5S，从下到上0.6S。

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