Monte Carlo (蒙特卡罗) 计算圆周率Pi

蒙特卡罗算法计算圆周率的主导思想是：统计学（概率）

原理：
先画一个正方形，画出其内切圆，然后这个正方形内随机的画点，设点落在圆内的概为P，则P=圆面积/正方形面积。
P=Pi*R*R/ 2R*2R=Pi/4         即 Pi=4P
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实验步骤：
1. 在一个平面直角坐标系下（暂定第一象限），在点（R , R）（R>0）处画一个半径为R的圆。

2. 以这个圆画一个外接正方形，其边长为2R。

3. 随机取一点（X，Y）使得0<=X<=2R并且0<=Y<=2R，即随机点在正方形内。

4. 判断点是否在圆内，通过公式(R-X)(R-X)+(R-Y)(R-Y)<R*R计算。

5. 设所有点（也就是实验次数）的个数为N，落在圆内的点（满足步骤4的点）的个数为M，则
    P=M/N           于是Pi=4*N/M
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简化步骤：
1.将圆心设在原点，以R为半径做圆，则第一象限的1/4圆面积为Pi*R*R/4

2.做该1/4圆的外接正方形, 坐标为（0，0）（0，R）（R，0）（R，R），则该正方形面积为R*R

3.随即取点（X，Y），使得0<=X<=R并且0<=Y<=R，即点在正方形内

4.通过公式 X*X+Y*Y<R*R判断点是否在1/4圆周内。

5.设所有点（也就是实验次数）的个数为N，落在1/4圆内的点（满足步骤4的点）的个数为M，则
    P=M/N           于是Pi=4*N/M
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伪代码：
calculate（N）              //设置迭代次数，即实验样本数，即点的总个数，即N
{
       counter=N ；   
       M=0；                   //统计落在1/4圆周内的点的个数
       radius=1;             //设半径为1
       while（counter-- >0）
       {   
              x=rand();                  //返回0到1间的随机数
              y=rand();
              if(x*x+y*y<=1)        //检验点是否落在1/4圆内
                       M++；
       }
       return M/N;
}
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根据概率论的原理，当实验次数越多（N越大），所计算出的Pi也越准确。

但计算机上的随机数毕竟是伪随机数，当取值超过一定值，也会出现不随机现象，因为伪随机数是周期函数。因此为了提高准确度，可以固定一个较大的N值（使之小于伪随机函数的周期即可），进行多次计算Pi值（每次采用不同的随机数种子），然后对其求平均数的方法即可。