迹

矩阵的tr

在线性代数中，n乘n方阵“A”的迹，是指“A”的主对角线各元素的总和（从左上方至右下方的对角线），例如：

tr(A) = A_1,1 + A_2,2 + ... + A_n,n

其中 Aij 代表在 i 行 j 栏中的数值。同样的，元素的迹是其特征值的总和，使其不变量根据选择的基本准则而定。

迹的英文为“trace”，是来自德文中的“Spur”这个单字（与英文中的“Spoor”是同源词），在数学中，通常简写为“Sp”。

性质

迹是一种线性算子。亦即，对于任两个方阵A、B和标量r，会有下列关系：

tr(A + B) = tr(A) + tr(B)

tr(rA) = r tr(A)

因为主对角线不会在转置矩阵中被换掉，所以所有的矩阵和其转置矩阵都会有相同的迹：

tr(A) = tr(A^T)

设A是一个n×m矩阵，B是个m×n矩阵，则：

tr(AB) = tr(BA)

其中AB是n×n矩阵，而BA是m×m矩阵。

上述可以由矩阵乘法的定义证明：

利用这个结果，我们可以推导出方阵的乘积和其任何循环置换的乘积会有相同的迹，称为迹的“循环性质”。例如，有三个方阵A、B、C，则：

tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)

更一般化地，当矩阵不被假设为方阵，但其所有乘积依然存在时，其迹依然会完全相同。

若A、B、C为有着相同维度的方阵而且对称的话，其乘积的迹不只在循环置换下不会改变，而是在所有的置换下均不会改变，亦即

tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA) = tr(BAC) = tr(CBA) = tr(ACB)

迹拥有相似不变性，即A和P^?1AP会有相同的迹，尽管总是存在一相同迹但不相似的矩阵。这一性质可使上面讲过的循环性质来证明：

tr(P^?1AP) = tr(PP^?1A) = tr(A)

给定任一线性映射f : V → V（V是一有限维向量空间），我们可以定义此一映射的迹为其矩阵表达式的迹，即选定V的一基并描述f为一对应于此基的矩阵，再取此一方阵的迹。其结果将和所选取的基无关，当不同的基都会得出相似的矩阵。