Google code jam 2008 Round 1A(c.Numbers)题解

   题目是计算（3＋sqrt(5))^n的小数点前三位数，不足三位补0,正整数n的最大值为20亿。

   http://code.google.com/codejam/contest/dashboard?c=agdjb2RlamFtchALEghjb250ZXN0cxiE2QUM



   经过两天的努力，终于把这道题搞明白了，为了方便后人的学习现将算法整理下来。


令f（n）＝（3＋sqrt（5））^n;
以前做过整数的n次方求余的题，但是这题的底数为实数，因此首先设法将其化为整数，
令g（n）＝f（n）＋（3－sqrt（5））^n，可以发现g（n）为f（n）的向上取整，因为（3－sqrt（5））^n小于1，所以g（n）减1所 得结果的后三位既为本题所求。下面的问题就是如何求g（n）了，经过数学推导有以下关 系，g（n＋2）＝6g（n）－4g（n），g（0）＝2，g（1）＝6，有了这个递推关系就可以求g（n）了，但朴素算法的时间复杂度为o(n),这里 介绍一个为o（lnn）的，将｛g（n），g（n＋1）｝看成是一个列向量，则根据上述的递推关系可以构造一个2×2的矩阵
M＝｛（0，1），（6，－4）｝，于是有
M×｛g（n－2），g（n－1）｝＝｛g（n－1），g（n）｝，于是
M^（n－1）×｛g（0），g（1）｝＝｛g（n－1），g（n）｝，这样剩下的问题就的如何求矩阵M的乘积的n次幂了，在这里应用M^i=(M^2)^(i/2)可以使时间复杂度为o（lnn）。


到此算法上已经没问题了，现在看上面的代码就会很清楚了。

这个还可以推广到（a＋b×sqrt（c））^n，只要满足（a－b×sqrt（c））在0到1之间就可以。


//参考代码
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

int mod = 1000;

class matrix
{
public:
int data[2][2];
};

matrix multiply(matrix a, matrix b)
{
matrix result;
result.data[0][0] = (a.data[0][0] * b.data[0][0] + a.data[0][1] * b.data[1][0]+ 1000000) % mod;
result.data[0][1] = (a.data[0][0] * b.data[0][1] + a.data[0][1] * b.data[1][1]+ 1000000) % mod;
result.data[1][0] = (a.data[1][0] * b.data[0][0] + a.data[1][1] * b.data[1][0]+ 1000000) % mod;
result.data[1][1] = (a.data[1][0] * b.data[0][1] + a.data[1][1] * b.data[1][1]+ 1000000) % mod;
return result;
}

matrix power(matrix a, int n)
{
matrix result;
result.data[0][0] = result.data[1][1] = 1;
result.data[0][1] = result.data[1][0] = 0;
matrix power = a;
for (int i = 0; i <= 30; i++)
{
if ((n & (1 < < i)) != 0)
result = multiply(result, power);
power = multiply(power, power);
}
return result;
}

void print(matrix a)
{
printf("%d %d %d %d/n", a.data[0][0], a.data[0][1], a.data[1][0], a.data[1][1]);
}

int main()
{
matrix trans;
trans.data[0][0] = 0;
trans.data[0][1] = 1;
trans.data[1][0] = -4;
trans.data[1][1] = 6;

int numCase, i, n;
scanf("%d", &numCase);
for (i = 0; i < numCase; i++)
{
scanf("%d", &n);
n--;
matrix tP = power(trans, n);
// printf("%d/n", n);
// print(trans);
int res = (tP.data[0][0] * 6 + tP.data[0][1] * 28+ 1000000) % mod;
if (res == 0) res = 999;
else res--;
printf("Case #%d: %03d/n", i+1, res);
}
return 0;
}