找啊找啊找GF （多维动态规划）

【问题描述】

"找啊找啊找GF,找到一个好GF,吃顿饭啊拉拉手,你是我的好GF.再见."

"诶,别再见啊..."

七夕...七夕...七夕这个日子,对于sqybi这种单身的菜鸟来说是多么的痛苦...虽然他听着这首叫做"找啊找啊找GF"的歌,他还是很痛苦.为了避免这种痛苦,sqybi决定要给自己找点事情干.他去找到了七夕模拟赛的负责人zmc MM,让她给自己一个出题的任务.经过几天的死缠烂打,zmc MM终于同意了.

但是,拿到这个任务的sqybi发现,原来出题比单身更让人感到无聊-_-....所以,他决定了,要在出题的同时去办另一件能够使自己不无聊的事情--给自己找GF.

sqybi现在看中了n个MM,我们不妨把她们编号1到n.请MM吃饭是要花钱的,我们假设请i号MM吃饭要花rmb[i]块大洋.而希望骗MM当自己GF是要费人品的,我们假设请第i号MM吃饭试图让她当自己GF的行为(不妨称作泡该MM)要耗费rp[i]的人品.而对于每一个MM来说,sqybi都有一个对应的搞定她的时间,对于第i个MM来说叫做time[i]. sqybi保证自己有足够的魅力用time[i]的时间搞定第i个MM^_^.

sqybi希望搞到尽量多的MM当自己的GF,这点是毋庸置疑的.但他不希望为此花费太多的时间(毕竟七夕赛的题目还没出),所以他希望在保证搞到MM数量最多的情况下花费的总时间最少.

sqybi现在有m块大洋,他也通过一段时间的努力攒到了r的人品(这次为模拟赛出题也攒rp哦~~).他凭借这些大洋和人品可以泡到一些MM.他想知道,自己泡到最多的MM花费的最少时间是多少.

注意sqybi在一个时刻只能去泡一个MM--如果同时泡两个或以上的MM的话,她们会打起来的...

【输入文件】

输入的第一行是n,表示sqybi看中的MM数量.

接下来有n行,依次表示编号为1, 2, 3, ..., n的一个MM的信息.每行表示一个MM的信息,有三个整数:rmb, rp和time.

最后一行有两个整数,分别为m和r.

【输出文件】

你只需要输出一行,其中有一个整数,表示sqybi在保证MM数量的情况下花费的最少总时间是多少.

【输入样例】

4

1 2 5

2 1 6

2 2 2

2 2 3

5 5

【输出样例】

13

【数据规模】

对于20%数据,1<=n<=10;

对于100%数据,1<=rmb<=100,1<=rp<=100,1<=time<=1000;

对于100%数据,1<=m<=100,1<=r<=100,1<=n<=100.

【提交链接】

http://www.rqnoj.cn/Submit.asp

【问题分析】

初看问题觉得条件太多，理不出头绪来，所以要将问题简化，看能否找出熟悉的模型来，如果我们只考虑钱够不够，或只考虑RP够不够。并且不考虑花费的时间。这样原问题可以简化成下面的问题：

在给定M元RMB（或R单位RP，RP该用什么单位呢？汗。。。）的前题下，去泡足够多的MM，很显然这个问题就是典型的0/1背包问题了。

可以把泡MM用的RMB（或RP看做重量），泡到MM的个数看做价值，给定的M（或R）就是背包的载重。求解这个问题很轻松喽。

但是，这个问题既要考虑RMB有要考虑RP怎么办呢？

解决这个问题很容易啊，要是你有足够的RMB去泡第i个MM而RP不够就泡不成了，要是RP够就可以。也就是在原来问题的基础上在状态加一维。

那要是在考虑上时间最小怎么办呢？

这个也很好说，在求解过程中如果花X元RMP，Y单位RP可以到Z个MM，那么在泡第i个MM时，发现可以用X-rmb[i]元，Y-rp[i]单位RP泡到的MM数加上这个MM（也就是+1）比原来Z多，就替换它（因为你的原则是尽量多的泡MM），如果和Z一样多，这是就要考虑原来花的时间多呢，还是现在花的时间多。要是原来的多，就把时间替换成现在用的时间（因为你既然可以泡到相同数量的MM当然要省点时间去出题）。

设计一个二维状态opt[j,k]表示正好花j元RMP，k单位RP可以泡到的最多的MM的数量。增加一个辅助的状态ct[k,j]表示正好花j元RMP，k单位RP可以泡到的最多MM的情况下花费的最少的时间。

边界条件 opt[0,0]=1    (按题意应该是0，但为了标记花费是否正好设为1，这样，opt[j,k]>0说明花费正好)

状态转移方程：

opt[j,k]=max{opt[j-rmb[i],k-rp[i]]+1}

(rmb[i]<=j<=m,rp[i]<=k<=r,0<i<=n,opt[j-rmb[i],k-rp[i]]>0)

ct[j,k]:=min{ct[j-rmb[i],k-rp[i]]}+time[i] (opt[j,k]=opt[j-rmb[i],k-rp[i]]+1)

时间复杂度：

阶段数 O（N）*状态数O（MR）*转移代价O（1）=    O（NMR）

注：数据挺小的。

问题拓展：

如果要加入别的条件，比如泡MM还要一定的SP，等也就是说一个价值要不同的条件确定，那么这个问题的状态就需要在加一维，多一个条件就多一维。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n, rmb, rp;
int g[101][3];
int dp[101][101][101];
int t[101][101][101];

int main()
{
    while(scanf("%d",&n) != EOF)
    {
        int i, j, k;
        for(i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d%d%d",&g[i][0],&g[i][1],&g[i][2]);
        scanf("%d%d",&rmb,&rp);

        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(t,0,sizeof(t));
        for(i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(j = 0; j <= rmb; j++)
            {
                for(k = 0; k <= rp; k++)
                {
                    if(j < g[i][0] || k < g[i][1])
                    {
                        dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k];
                        t[i][j][k] = t[i-1][j][k];
                        continue;
                    }
                   if(dp[i-1][j][k] > dp[i-1][j-g[i][0]][k-g[i][1]] + 1)
                   {
                       dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k];
                       t[i][j][k] = t[i-1][j][k];
                   }
                   else if(dp[i-1][j][k] < dp[i-1][j-g[i][0]][k-g[i][1]] + 1)
                   {
                       dp[i][j][k] = dp[i-1][j-g[i][0]][k-g[i][1]] + 1;
                       t[i][j][k] = t[i-1][j-g[i][0]][k-g[i][1]] + g[i][2];
                   }
                   else if(t[i-1][j][k] > t[i-1][j-g[i][0]][k-g[i][1]] + g[i][2])
                   {
                       dp[i][j][k] = dp[i-1][j-g[i][0]][k-g[i][1]] + 1;
                       t[i][j][k] = t[i-1][j-g[i][0]][k-g[i][1]] + g[i][2];
                   }
                   else
                   {
                       dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k];
                       t[i][j][k] = t[i-1][j][k];
                   }
                }
            }
        }
        printf("%d\n",t[n][rmb][rp]);
    }
    return 0;
}

优化一下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n, rmb, rp;
int g[101][3];
int dp[101][101];
int t[101][101];

int main()
{
    while(scanf("%d",&n) != EOF)
    {
        int i, j, k;
        for(i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d%d%d",&g[i][0],&g[i][1],&g[i][2]);
        scanf("%d%d",&rmb,&rp);

        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(t,0,sizeof(t));
        for(i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(j = rmb; j >= g[i][0]; j--)
            {
                for(k = rp; k >= g[i][1]; k--)
                {

                   if(dp[j][k] < dp[j-g[i][0]][k-g[i][1]] + 1)
                   {
                       dp[j][k] = dp[j-g[i][0]][k-g[i][1]] + 1;
                       t[j][k] = t[j-g[i][0]][k-g[i][1]] + g[i][2];
                   }

                   if(dp[j][k] == dp[j-g[i][0]][k-g[i][1]] + 1 && t[j][k] > t[j-g[i][0]][k-g[i][1]] + g[i][2])
                   {
                       dp[j][k] = dp[j-g[i][0]][k-g[i][1]] + 1;
                       t[j][k] = t[j-g[i][0]][k-g[i][1]] + g[i][2];
                   }
                }
            }
        }
        printf("%d\n",t[rmb][rp]);
    }
    return 0;
}