IIR数字滤波器C语言

1.模拟滤波器的设计

      1.1巴特沃斯滤波器的次数

        根据给定的参数设计模拟滤波器，然后进行变数变换，求取数字滤波器的方法，称为滤波器的间接设计。做为数字滤波器的设计基础的模拟滤波器，称之为原型滤波器。这里，我们首先介绍的是最简单最基础的原型滤波器，巴特沃斯低通滤波器。由于IIR滤波器不具有线性相位特性，因此不必考虑相位特性，直接考虑其振幅特性。

       在这里，N是滤波器的次数，Ωc是截止频率。从上式的振幅特性可以看出，这个是单调递减的函数，其振幅特性是不存在纹波的。设计的时候，一般需要先计算跟所需要设计参数相符合的次数N。首先，就需要先由阻带频率，计算出阻带衰减

将巴特沃斯低通滤波器的振幅特性，直接带入上式，则有

最后，可以解得次数N为

当然，这里的N只能为正数，因此，若结果为小数，则舍弃小数，向上取整。

      1.2巴特沃斯滤波器的传递函数

         巴特沃斯低通滤波器的传递函数，可由其振幅特性的分母多项式求得。其分母多项式

根据S解开，可以得到极点。这里，为了方便处理，我们分为两种情况去解这个方程。当N为偶数的时候，

这里，使用了欧拉公式。同样的，当N为奇数的时候，

同样的，这里也使用了欧拉公式。归纳以上，极点的解为

上式所求得的极点，是在s平面内，在半径为Ωc的圆上等间距的点，其数量为2N个。为了使得其IIR滤波器稳定，那么，只能选取极点在S平面左半平面的点。选定了稳定的极点之后，其模拟滤波器的传递函数就可由下式求得。

       1.3巴特沃斯滤波器的实现（C语言）

          首先，是次数的计算。次数的计算，我们可以由下式求得。

         

其对应的C语言程序为

 N = Ceil(0.5*( log10 ( pow (10, Stopband_attenuation/10) - 1) /
             log10 (Stopband/Cotoff) ));

         然后是极点的选择，这里由于涉及到复数的操作，我们就声明一个复数结构体就可以了。最重要的是，极点的计算含有自然指数函数，这点对于计算机来讲，不是太方便，所以，我们将其替换为三角函数，

这样的话，实部与虚部就还可以分开来计算。其代码实现为

 typedef struct
 {
     double Real_part;
     double Imag_Part;
 } COMPLEX;


 COMPLEX poles[N];

 for(k = 0;k <= ((2*N)-1) ; k++)
 {
     if(Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N)) < 0)
     {
         poles[count].Real_part = -Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));
     　　poles[count].Imag_Part= -Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));
         count++;
         if (count == N) break;
     }
 }

       计算出稳定的极点之后，就可以进行传递函数的计算了。传递的函数的计算，就像下式一样

这里，为了得到模拟滤波器的系数，需要将分母乘开。很显然，这里的极点不一定是整数，或者来说，这里的乘开需要做复数运算。其复数的乘法代码如下，

 int Complex_Multiple(COMPLEX a,COMPLEX b,
                  double *Res_Real,double *Res_Imag)

 {
        *(Res_Real) =  (a.Real_part)*(b.Real_part) - (a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);
        *(Res_Imag)=  (a.Imag_Part)*(b.Real_part) + (a.Real_part)*(b.Imag_Part);
      return (int)1;
 }

有了乘法代码之后，我们现在简单的情况下，看看其如何计算其滤波器系数。我们做如下假设

这个时候，其传递函数为

将其乘开，其大致的关系就像下图所示一样。

计算的关系一目了然，这样的话，实现就简单多了。高阶的情况下也一样，重复这种计算就可以了。其代码为

  Res[0].Real_part = poles[0].Real_part;
  Res[0].Imag_Part= poles[0].Imag_Part;
  Res[1].Real_part = 1;
  Res[1].Imag_Part= 0;

 for(count_1 = 0;count_1 < N-1;count_1++)
 {
   for(count = 0;count <= count_1 + 2;count++)
   {
       if(0 == count)
  　{
               Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],
                    &(Res_Save[count].Real_part),
                    &(Res_Save[count].Imag_Part));
       }
       else if((count_1 + 2) == count)
       {
             Res_Save[count].Real_part  += Res[count - 1].Real_part;
    　Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;
       }
   　else
   　{
               Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],
                    &(Res_Save[count].Real_part),
                    &(Res_Save[count].Imag_Part));
 1   　　Res_Save[count].Real_part  += Res[count - 1].Real_part;
   　　 Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;
  　}
   }
  　　*(b+N) = *(a+N);

到此，我们就可以得到一个模拟滤波器巴特沃斯低通滤波器了。

2.双1次z变换

      2.1双1次z变换的原理

        我们为了将模拟滤波器转换为数字滤波器的，可以用的方法很多。这里着重说说双1次z变换。我们希望通过双1次z变换，建立一个s平面到z平面的映射关系，将模拟滤波器转换为数字滤波器。

        和之前的例子一样，我们假设有如下模拟滤波器的传递函数。

将其做拉普拉斯逆变换，可得到其时间域内的连续微分方程式，

其中，x(t)表示输入，y(t)表示输出。然后我们需要将其离散化，假设其采样周期是T，用差分方程去近似的替代微分方程，可以得到下面结果

然后使用z变换，再将其化简。可得到如下结果

从而，我们可以得到了s平面到z平面的映射关系，即

由于所有的高阶系统都可以视为一阶系统的并联，所以，这个映射关系在高阶系统中，也是成立的。

然后，将关系式

带入上式，可得

到这里，我们可以就可以得到Ω与ω的对应关系了。

         这里的Ω与ω的对应关系很重要。我们最终的目的设计的是数字滤波器，所以，设计时候给的参数必定是数字滤波器的指标。而我们通过间接设计设计IIR滤波器时候，首先是要设计模拟滤波器，再通过变换，得到数字滤波器。那么，我们首先需要做的，就是将数字滤波器的指标，转换为模拟滤波器的指标，基于这个指标去设计模拟滤波器。另外，这里的采样时间T的取值很随意，为了方便计算，一般取1s就可以。

       2.2双1次z变换的实现（C语言）

         我们设计好的巴特沃斯低通滤波器的传递函数如下所示。

     

我们将其进行双1次z变换，我们可以得到如下式子

可以看出，我们还是需要将式子乘开，进行合并同类项，这个跟之前说的算法相差不大。其代码为。

 for(Count = 0;Count<=N;Count++)
     {
           　for(Count_Z = 0;Count_Z <= N;Count_Z++)
             {
                  Res[Count_Z] = 0;
              Res_Save[Count_Z] = 0;
             }
                 Res_Save [0] = 1;
          　 for(Count_1 = 0; Count_1 < N-Count;Count_1++)
             {
             　　for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)
                 {
                     if(Count_2 == 0)  Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];
 　　　　　　　　　        　else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))
                        　    Res[Count_2] += -Res_Save[Count_2 - 1];
 　　　　　　　　　　        else  Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] - Res_Save[Count_2 - 1];
 　　           　for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)
               　　　{
                     　 Res_Save[Count_Z]  =  Res[Count_Z] ;
                    　　Res[Count_Z]  = 0;
               　　　}
             }
         for(Count_1 = (N-Count); Count_1 < N;Count_1++)
             {
                         for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)
                 {
                      if(Count_2 == 0) 　Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];
                  else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))
                       　　　　　　　 Res[Count_2] += Res_Save[Count_2 - 1];
                  else
                        Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] + Res_Save[Count_2 - 1];
             　}
                   for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)
                   {
                        Res_Save[Count_Z]  =  Res[Count_Z] ;
                    Res[Count_Z]  = 0;
                   }
             }
             for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)
         {
                     *(az+Count_Z) += 　pow(2,N-Count) * (*(as+Count)) *
 　　　　　　　　　　　      　　　　 　Res_Save[Count_Z];
                 *(bz+Count_Z) +=  (*(bs+Count)) * Res_Save[Count_Z];
          }
     }

到此，我们就已经实现了一个数字滤波器。

3.IIR滤波器的间接设计代码（C语言）

 #include <stdio.h>
 #include <math.h>
 #include <malloc.h>
 #include <string.h>


 #define     pi     ((double)3.1415926)


 struct DESIGN_SPECIFICATION
 {
     double Cotoff;
     double Stopband;
     double Stopband_attenuation;
 };

 typedef struct
 {
     double Real_part;
     double Imag_Part;
 } COMPLEX;



 int Ceil(double input)
 {
      if(input != (int)input) return ((int)input) +1;
      else return ((int)input);
 }


 int Complex_Multiple(COMPLEX a,COMPLEX b
                                      ,double *Res_Real,double *Res_Imag)

 {
        *(Res_Real) =  (a.Real_part)*(b.Real_part) - (a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);
        *(Res_Imag)=  (a.Imag_Part)*(b.Real_part) + (a.Real_part)*(b.Imag_Part);
      return (int)1;
 }


 int Buttord(double Cotoff,
                  double Stopband,
                  double Stopband_attenuation)
 {
    int N;

    printf("Wc =  %lf  [rad/sec] \n" ,Cotoff);
    printf("Ws =  %lf  [rad/sec] \n" ,Stopband);
    printf("As  =  %lf  [dB] \n" ,Stopband_attenuation);
    printf("--------------------------------------------------------\n" );

    N = Ceil(0.5*( log10 ( pow (10, Stopband_attenuation/10) - 1) /
                     log10 (Stopband/Cotoff) ));


    return (int)N;
 }


 int Butter(int N, double Cotoff,
                double *a,
                double *b)
 {
     double dk = 0;
     int k = 0;
     int count = 0,count_1 = 0;
     COMPLEX poles[N];
     COMPLEX Res[N+1],Res_Save[N+1];

     if((N%2) == 0) dk = 0.5;
     else dk = 0;

     for(k = 0;k <= ((2*N)-1) ; k++)
     {
          if(Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N)) < 0)
          {
                poles[count].Real_part = -Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));
           poles[count].Imag_Part= -Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));
               count++;
             if (count == N) break;
          }
     }

      printf("Pk =   \n" );
      for(count = 0;count < N ;count++)
      {
            printf("(%lf) + (%lf i) \n" ,-poles[count].Real_part
                                       ,-poles[count].Imag_Part);
      }
      printf("--------------------------------------------------------\n" );

      Res[0].Real_part = poles[0].Real_part;
      Res[0].Imag_Part= poles[0].Imag_Part;

      Res[1].Real_part = 1;
      Res[1].Imag_Part= 0;

     for(count_1 = 0;count_1 < N-1;count_1++)
     {
          for(count = 0;count <= count_1 + 2;count++)
          {
               if(0 == count)
            {
                     Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],
                                    &(Res_Save[count].Real_part),
                                    &(Res_Save[count].Imag_Part));
                //printf( "Res_Save : (%lf) + (%lf i) \n" ,Res_Save[0].Real_part,Res_Save[0].Imag_Part);
               }

               else if((count_1 + 2) == count)
               {
                      Res_Save[count].Real_part  += Res[count - 1].Real_part;
                 Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;
               }
             else
             {
                      Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],
                                    &(Res_Save[count].Real_part),
                                    &(Res_Save[count].Imag_Part));

                        //printf( "Res          : (%lf) + (%lf i) \n" ,Res[count - 1].Real_part,Res[count - 1].Imag_Part);
                 //printf( "Res_Save : (%lf) + (%lf i) \n" ,Res_Save[count].Real_part,Res_Save[count].Imag_Part);

                 Res_Save[count].Real_part  += Res[count - 1].Real_part;
                 Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;

                 //printf( "Res_Save : (%lf) + (%lf i) \n" ,Res_Save[count].Real_part,Res_Save[count].Imag_Part);

             }
             //printf("There \n" );
          }

          for(count = 0;count <= N;count++)
          {
                Res[count].Real_part = Res_Save[count].Real_part;
                  Res[count].Imag_Part= Res_Save[count].Imag_Part;

             *(a + N - count) = Res[count].Real_part;
          }

          //printf("There!! \n" );

         }

      *(b+N) = *(a+N);

      //------------------------display---------------------------------//
      printf("bs =  [" );
      for(count = 0;count <= N ;count++)
      {
            printf("%lf ", *(b+count));
      }
      printf(" ] \n" );

      printf("as =  [" );
      for(count = 0;count <= N ;count++)
      {
            printf("%lf ", *(a+count));
      }
      printf(" ] \n" );

      printf("--------------------------------------------------------\n" );

      return (int) 1;
 }


 int Bilinear(int N,
                  double *as,double *bs,
                  double *az,double *bz)
 {
       int Count = 0,Count_1 = 0,Count_2 = 0,Count_Z = 0;
       double Res[N+1];
     double Res_Save[N+1];

         for(Count_Z = 0;Count_Z <= N;Count_Z++)
     {
                  *(az+Count_Z)  = 0;
             *(bz+Count_Z)  = 0;
     }


     for(Count = 0;Count<=N;Count++)
     {
           for(Count_Z = 0;Count_Z <= N;Count_Z++)
             {
                  Res[Count_Z] = 0;
              Res_Save[Count_Z] = 0;
             }
              Res_Save [0] = 1;

           for(Count_1 = 0; Count_1 < N-Count;Count_1++)
             {
             for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)
                 {
                      if(Count_2 == 0)
                  {
                        Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];
                      //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);
                  }

                  else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))
                  {
                        Res[Count_2] += -Res_Save[Count_2 - 1];
                               //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);
                  }

                  else
                  {
                        Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] - Res_Save[Count_2 - 1];
                     //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);
                  }
             }

                     //printf( "Res : ");
               for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)
               {
                      Res_Save[Count_Z]  =  Res[Count_Z] ;
                    Res[Count_Z]  = 0;
                 //printf( "[%d]  %lf  " ,Count_Z, Res_Save[Count_Z]);
               }
               //printf(" \n" );

             }

         for(Count_1 = (N-Count); Count_1 < N;Count_1++)
             {
                     for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)
                 {
                      if(Count_2 == 0)
                  {
                        Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];
                      //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);
                  }

                  else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))
                  {
                        Res[Count_2] += Res_Save[Count_2 - 1];
                               //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);
                   }

                  else
                  {
                        Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] + Res_Save[Count_2 - 1];
                      //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);
                  }
             }

                    //   printf( "Res : ");
               for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)
               {
                      Res_Save[Count_Z]  =  Res[Count_Z] ;
                    Res[Count_Z]  = 0;
                 //printf( "[%d]  %lf  " ,Count_Z, Res_Save[Count_Z]);
               }
                //printf(" \n" );
             }


              //printf( "Res : ");
         for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)
         {
                     *(az+Count_Z) +=  pow(2,N-Count)  *  (*(as+Count)) * Res_Save[Count_Z];
              *(bz+Count_Z) +=  (*(bs+Count)) * Res_Save[Count_Z];
                      //printf( "  %lf  " ,*(bz+Count_Z));
          }
          //printf(" \n" );

     }



      for(Count_Z = N;Count_Z >= 0;Count_Z--)
      {
           *(bz+Count_Z) =  (*(bz+Count_Z))/(*(az+0));
           *(az+Count_Z) =  (*(az+Count_Z))/(*(az+0));
      }


     //------------------------display---------------------------------//
       printf("bz =  [" );
       for(Count_Z= 0;Count_Z <= N ;Count_Z++)
       {
            printf("%lf ", *(bz+Count_Z));
       }
       printf(" ] \n" );
       printf("az =  [" );
       for(Count_Z= 0;Count_Z <= N ;Count_Z++)
       {
            printf("%lf ", *(az+Count_Z));
       }
       printf(" ] \n" );
       printf("--------------------------------------------------------\n" );



      return (int) 1;
 }





 int main(void)
 {
      int count;

      struct DESIGN_SPECIFICATION IIR_Filter;

      IIR_Filter.Cotoff      = (double)(pi/2);         //[red]
      IIR_Filter.Stopband = (double)((pi*3)/4);   //[red]
      IIR_Filter.Stopband_attenuation = 30;        //[dB]

      int N;

      IIR_Filter.Cotoff = 2 * tan((IIR_Filter.Cotoff)/2);            //[red/sec]
      IIR_Filter.Stopband = 2 * tan((IIR_Filter.Stopband)/2);   //[red/sec]

      N = Buttord(IIR_Filter.Cotoff,
                   IIR_Filter.Stopband,
                   IIR_Filter.Stopband_attenuation);
      printf("N:  %d  \n" ,N);
      printf("--------------------------------------------------------\n" );

      double as[N+1] , bs[N+1];
      Butter(N,
                 IIR_Filter.Cotoff,
              as,
              bs);

      double az[N+1] , bz[N+1];

      Bilinear(N,
                as,bs,
                az,bz);

      printf("Finish \n" );
      return (int)0;
 }

3.间接设计实现的IIR滤波器的性能

       3.1设计指标

             

        3.2程序执行结果

           使用上述程序，gcc编译通过，执行结果如下。

       其频率响应如下所示。

from：http://blog.csdn.net/thnh169/