高斯消元解线性方程组

高斯消去法是消去法的一种特殊形式，它包括消元和回带两个过程。

高斯消去法求解线性方程组分为以下两大步：

1、将系数矩阵A经过一系列的初等行变换编程右上三角矩阵，其常数向量B也同时做相应的变换，即：

在变换过程中，采用原地工作，即经变换后的元素仍存放在原来的存储单元中。

为了实现上述目标，对于k从1到N-1作以下2步

(1):归一化
这一步的作用是将主对角线上的元素变为1,为此,第k行上的所用元素a[k][j](j=k+1,...N)与常数向量b[k]都要除以a[k][k].但由于变换后的元素仍存放在原来的存储单元中,因此,为了不影响第k行其他元素的变换(都要除以a[k][k])一开始没有将

a[k][k]变为1,并且最后也没有真正将a[k][k]变为1,因为a[k][k]是否真正变为1已经无关紧要了,只要在以后得变换中将a[k][k]认为是1就可以了.

(2):消元
将第k列中主对角线以下的元素消成0,为此,第i(i=k+1,...N)行的其他元素a[i][j](j=k+1,...N)与常数向量B中的元素b[i]都要减去第k行对应元素的a[i][k]倍.同样由于变换后的元素仍然在原先的位置上,因此,为了不影响第i行上其他元素的变换,一开始并没有将a[i][k]变为0,并且最后也没有真正将a[i][k]变为0,因为a[i][k]是否真正变为1已经无关紧要了,以后得变换中已经用不到这个元素了.

回带求解:
首先从最后一个方程中解出x[n]，x[n]=b[n]/a[n][n];
然后依次回带,逐个解出x[n-1],...x2,x1

。

算法实现：

//列选主元高斯消去法求解线性方程组
//a:线性方程组的增广矩阵
//N:N阶线性方程组
//result:方程组的解
bool LinearEquations(double *a,int N,double *result)
{
	double maxValue;
	int nPos=0;
	for(int k=0;k<N-1;k++)
	{
		maxValue=abs(a[k*(N+1)+k]);
		nPos=k;
		for(int i=k+1;i<N;i++)
		{
			//寻找每一列中的最大值所在的行
			if(abs(a[i*(N+1)+k])>maxValue)
			{
				maxValue=abs(a[i*(N+1)+k]);
				nPos=i;
			}
		}
		if(maxValue!=0)
		{
			if(nPos!=k)
			{
				//交换第nPos行与第k行的元素
				for(int l=0;l<N+1;l++)
				{
					double tmp=a[nPos*(N+1)+l];
					a[nPos*(N+1)+l]=a[k*(N+1)+l];
					a[k*(N+1)+l]=tmp;
				}
			}
		}
		else
		{
			printf("方程组无解\n");
			return false;
		}
		//归一化,消元
		for(int i=k+1;i<N;i++)
		{
			for(int j=k+1;j<N+1;j++)
			{
				a[i*(N+1)+j]-=a[i*(N+1)+k]/a[k*(N+1)+k]*a[k*(N+1)+j];
			}
		}
	}

	//回带求解
	result[N-1]=a[(N-1)*(N+1)+N]/a[(N-1)*(N+1)+N-1];
	for(int k=N-1-1;k>=0;k--)
	{
		double tmp=0;
		for(int j=k+1;j<N;j++)
		{
			tmp+=a[k*(N+1)+j]*result[j];
		}
		result[k]=(a[k*(N+1)+N]-tmp)/a[k*(N+1)+k];
	}

	return true;
}

为了避免高斯消去法中数值计算的不稳定性，一般要在每次归一化之前增加一个选主元的过程，将绝对值最大或比较大的元素交换到主元素的位置上。选取主元可分为列选主元与全选主元。上述算法中使用列选主元法。

高斯-约当消去法是一种无回带过程的求解线性代数方程组的直接解法。这种方法的基本思想是通过一系列的初等行变换，直接将系数矩阵变换成单位矩阵，同样的变换就将常数向量变换成解向量了。这种消元法的基本过程与高斯消去法相同，只是在消元的过程中，不仅将主对角线以下的元素消成0，同时将主对角线以上的元素也消成0，因此，在这种情况下，就不需要回带过程了。