算法----Magic Index

给定一个数组 A，如果 某个下标 i, 满足 A[i] = i, 则 i 称为 Magic Index。

现在假设 A 中的元素是递增有序的、且不重复，找出 Magic Index.

更进一步，当数组中有重复的元素呢？？

分析：

首先题目不难。

最简单的当然是 扫描一遍数组，当然这个 O（N）的算法不是最优的。

进一步思考，如今数组是递增的，可否采用 二分搜索，从而加速到 O（lgN）？

   if  a[mid] == mid,  return mid;

   if  a[mid]  <  mid,  search in range[mid+1,  right];  

       Why? 左半部分一定不会有 Magic index。 反证法： 假如左半部分存在一个 K 是Magic index, 则 a[K] = K.

        由于没有重复的元素，所以数组元素从左到右递增的时候，每次增加至少是 1。

       从而有 a[mid] > a[K] + mid-K > K + mid - K = mid， 得到矛盾。

   if  a[mid]  > mid,   search in range[left, mid-1];

考虑下面的一个例子：

index:      0    1    2    3    4    5     6

value:    -10   -5   1    2    4   10   12

a[mid] = 2 < mid = 3, 继续在右半部分找即可，。

二、假设存在重复的元素

由于存在重复的元素，所以数组元素从左到右递增的时候，每次增加不一定大于1了， 有可能是 0。

二分搜索不再使用。每次都必须对 左，右两半都进行搜索。

但是这里还是有一个小 trick, 

如果 a[mid] < mid, 左边仅需要搜索 (left,     a[mid]), 右边还是搜索 (mid+1, right).

如果 a[mid] > mid, 右边仅需要搜索 (a[mid],  right), 左边还是搜索 (left, mid-1).

拿个例子来说明：

index:      0    1    2    3    4    5     6

value:    -10   1    1    1   6   10   12

mid = 1 < a[mid] = 3

// copyright @ L.J.SHOU Feb.22, 2014
// magic index
#include <iostream>
using namespace std;

// if found, return index;
// if not found, return -1;
int MagicIndex(int A[], int left, int right)
{
    int index(-1);

    if(left <= right)
    {
      int mid = left + ((right - left) >> 1);

        if(A[mid] == mid)  return mid;
        else if(A[mid] < mid){
          index = MagicIndex(A, left, A[mid]);
          if(index != -1)  return index;

          index = MagicIndex(A, mid+1, right);
          if(index != -1)  return index;
        }
        else{
          index = MagicIndex(A, left, mid-1);
          if(index != -1)  return index;

          index = MagicIndex(A, A[mid], right);
          if(index != -1)  return index;
        }
    }

    return -1;
}