【UVALive】5713 Qin Shi Huang's National Road System 最小生成树

传送门：【UVALive】5713 Qin Shi Huang's National Road System

题目大意：秦朝有n个城市，需要修建一些道路使得任意两个城市之间都可以连通。道士徐福声称他可以用法术修路，不花钱，也不用劳动力，但只能修一条路，因此需要慎重选择用法术修哪一条路。秦始皇不仅希望其他道路的总长度B尽量短（这样可以节省劳动力），还希望法术连接的两个城市的人口之和A尽量大，因此下令寻找一个使得A/B最大的方案。你的任务是找到这个方案。

任意两个城市之间都可以修路，长度为两个城市之间的欧几里德距离。

题目分析：

本题是全局最小瓶颈路的应用。

因为法术只能修一条边，所以我们枚举路两端的城市u，v。A/B = (u,v)两城市人口之和/(最小生成树权值 - (u,v)唯一路径上的最长边)。

(u,v)最长边就是(u,v)的最小瓶颈路。我们可以预处理出(u,v)之间唯一路径上的最大权maxcost[u][v]。那么问题就可以解决。

怎么求maxcost[u][v]？

我们可以DFS，也可以直接在prim中求得。

只要访问一个结点v时，考虑所有已经访问的结点x，更新maxcost[v][x] = max ( maxcost[x][u] , cost[u][v])。其中u是v的父节点，cost[u][v]是树边。

下面我给出prim中求的方法。（DFS的就算了吧= =，效率没这个高）

PS：用了优先队列还跑的满，弃疗。。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std ;

#define clear( A , X ) memset ( A , X , sizeof A )
#define REP( i , n ) for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i )
#define FF( i , a , b ) for ( int i = a ; i <= b ; ++ i )

const int maxN = 1005 ;
const int oo = 0x3f3f3f3f ;
const double eps = 1e-8 ;

struct City {
	int x , y , num ;
} ;		

struct MST {
	double d[maxN] ;
	double dist[maxN][maxN] ;
	double maxcost[maxN][maxN] ;
	int done[maxN] ;
	int fa[maxN] ;
	
	void Init () {
		clear ( maxcost , 0 ) ;
		clear ( done , 0 ) ;
	}
	
	double Prim ( int n ) {
		double ans = 0 ;
		REP ( i , n ) d[i] = oo ;
		d[0] = 0 ;
		fa[0] = 0 ;
		REP ( i , n ) {
			int u ;
			double m = oo ;
			REP ( j , n )
				if ( !done[j] && d[j] < m )
					m = d[u = j] ;
			ans += dist[fa[u]][u] ;
			REP ( i , n )
				if ( done[i] )
					maxcost[u][i] = maxcost[i][u] = max ( maxcost[fa[u]][i] , dist[fa[u]][u] ) ;
			done[u] = 1 ;
			REP ( v , n ) {
				if ( !done[v] && d[v] > dist[u][v] ) {
					d[v] = dist[u][v] ;
					fa[v] = u ;
				}
			}
		}
		return ans ;
	}
} ;

MST P ;
City c[maxN] ;

int sgn ( double x ) {
	return ( x > eps ) - ( x < -eps ) ;
}

void work () {
	int n ;
	double cost , mmax = 0 ;
	P.Init () ;
	scanf ( "%d" , &n ) ;
	REP ( i , n )
		scanf ( "%d%d%d" , &c[i].x , &c[i].y , &c[i].num ) ;
	REP ( i , n - 1 )
		FF ( j , i + 1 , n - 1 ) {
			int x = c[i].x - c[j].x ;
			int y = c[i].y - c[j].y ;
			double tmp = sqrt ( (double) x * x + y * y ) ;
			P.dist[i][j] = P.dist[j][i] = tmp ;
		}
	cost = P.Prim ( n ) ;
	REP ( i , n - 1 )
		FF ( j , i + 1 , n - 1 ) {
			double tmp = cost - P.maxcost[i][j] ;
			int num = c[i].num + c[j].num ;
			if ( sgn ( num / tmp - mmax ) > 0 )
				mmax = num / tmp ;
		}
	printf ( "%.2f\n" , mmax ) ;
}

int main () {
	int T ;
	scanf ( "%d" , &T ) ;
	while ( T -- )
		work () ;
	return 0 ;
}