对dijkstra算法的常数优化-by azui

Dijkstra有一个经典的堆优化，可以将原本n^2的复杂度优化到(n+m)logn，由于C++的priority_queue，我们只需要自己定义一个结构体，一个比较函数，一个构造函数即可。但分析传统的堆优化dijkstra模板代码可发现，由于每次松弛成功都要进行入堆操作，堆中元素个数最多可达到(n+m)那么多，但其实每加入一个点，若这个点之前还有若干次在堆中的话，之前在堆中保存的同一个点相当于是浪费的，但又占着空间，由于堆的性质而无法及时弹出。所以堆对于这个问题，并不是最完美的数据结构。

对于这个问题，我针对dijkstra的优化原理为这个算法专门设计了一个简单紧凑的数据结构。思想非常简单，一颗完全二叉树，每个节点保存其子树中的距离值最小的点，每次自底向上更新即可。这样一来，空间复杂度限制在了O(n)，也就是每次操作的复杂度由原来的log(n+m)降为了严格的log(n)，但其实最主要的优化不在于此，而是原来被重复松弛的点的出堆全部被省去了，也就是总共省去了mlogn这么多复杂度，在环多而复杂的图当中这个优化会比较明显。

下面是依据这个优化写出的程序（简称my）和CQBZOJ上"SPFA算法"一题原rank1的代码（简称std，用的是传统堆优化dijkstra）的对比实验。两篇程序都取消了指定终点已到达的优化，即需要跑出点所有的dis值。为避免误差，均是在完成了输入和建边完成之后计时，保存边用的是同样的手写离散链表。耗时均为5次运行取平均值。

TEST1(较小图，500次运行)：        my:3115.4ms   std:3828.6ms

TEST2(较大多环图，100次运行)：my:4862.4ms   std:7894.2ms

由以上两组数据看出，加上这个优化的dijkstra实际效率会有明显的提高。

下面是我写的代码，和传统堆优化dijkstra的模板代码长度几乎一样。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<ctime>
const int MAXN = 50010, MAXM = 500010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
using namespace std;

int N, M, S, T;
struct Node {
    int to, d;
    Node *next;
}Edge[MAXM], *ecnt=Edge, *adj[MAXN];
void addedge(int a, int b, int c)
{
    (++ecnt)->to = b;
    ecnt->d = c;
    ecnt->next = adj[a];
    adj[a] = ecnt;
}

int dis[MAXN], minp[MAXN*2];
bool used[MAXN];
inline void pushup(int&p) {
	int &r = minp[p];
	r = p * !used[p];
	if (dis[minp[p<<1]] < dis[r]) r = minp[p<<1];
	if (dis[minp[p<<1|1]] < dis[r]) r = minp[p<<1|1];
}
void relax(int&p, int d) {
	if (d >= dis[p]) return;
	dis[p] = d;
	for (int i = p; i; i>>=1) pushup(i);
}
void finish(int&p) {
	used[p] = 1;
	for (int i = p; i; i>>=1) pushup(i);
}
void Dijkstra()
{
	//memset(used, 0, sizeof used);
	//memset(minp, 0, sizeof minp);
	memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
	relax(S, 0);
	for (int i = 1; i<=N; ++i) {
		int u = minp[1]; //整棵树中dis最小且未被used的点
		finish(u);
		for (Node*p = adj[u]; p; p = p->next)
			relax(p->to, dis[u] + p->d);
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &N, &M);
	int a, b, c;
	for (int i = 1; i<=M; ++i)
	{
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		addedge(a, b, c);
	}
	S = 1; T = N; //分别是起点和终点
	Dijkstra();
	printf("%d\n", dis[T]);
	return 0;
}