manifold 流形

流形，是局部具有欧几里得空间性质的空间，是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧几里得空间就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。

流形在数学中用于描述几何形体，它们为研究形体的可微性提供了一个自然的平台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。位形空间中也可以定义流形。环面就是双摆的位形空间。

一般可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的，因为所有变形（同胚）会保持拓扑结构不变；而把解析几何结构看作是“硬”的，因为整体的结构都是固定的。例如一个多项式，如果你知道  区间的取值，则整个实数范围的值都是固定的，所以局部的变动会导致全局的变化。光滑流形可以看作是介于两者之间的模型：其无穷小的结构是“硬”的，而整体结构则是“柔软”的。这也许是中文译名“流形”的原因（整体的形态可以流动）。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。

简单来说，黎曼提出了流形的概念，流形是对曲线、曲面这些概念的推广，可以有任意的维数。一个n维空间是一个n维流形，流形的几何由自身决定，扩展了高斯的曲面空间概念。

定义

拓扑流形的数学定义可以表述为^[3]：

设 M是 豪斯多夫空间，若对任意一点 ，都有 x在 M中的一个 邻域 U 同胚于 m维 欧几里得空间 的一个 开集，就称 M是一个 m维流形或  m维拓朴流形。

坐标图

一个流形的一个坐标映射,坐标图，或简称图是一个在流形的一个子集和一个简单空间之间的双射，使得该映射及其逆都保持所要的结构。对于拓扑流形，该简单空间是某个欧几里得空间Rⁿ而一般感兴趣的是其拓扑结构。这个结构被同胚保持，也就是可逆的在两个方向都连续的映射。例如上节提到的映射是圆圈的一个图。图对于计算极其重要，因为它使得计算可以在简单空间进行，再把结果传回流形。

图册

多数流形的表述需要多于一个的图（只有最简单的流形只用一个图）。覆盖流形的一个特定的图的集合称为一个图册。图集不是唯一的，因为所有流形可以被不同的图的组合用很多方式覆盖。

包含所有和给定图集相一致的图的图集称为极大图册。不像普通的图集，极大图册是唯一的。虽然可能在定义中有用，这个对象非常抽象，通常不直接使用（例如，在计算中）。

坐标变换映射

图册中的图通常会互相重叠，而流形中的一个点可能会被好几个图所表示。如果两个图重叠，它们的部分会表示流形的同一个区域。这些部分之间的关联代表流形上同一点的坐标点的映射，譬如上面圆圈例子中的映射T，称为坐标变换,变换函数，或者转换函数,转换映射。

附加结构

图册也可用于定义流形上的附加结构。结构首先在每个图上分别定义。如果所有变换映射和这个结构相容，该结构就可以转到流形上。

这是微分流形的标准定义方式。如果图册的变换映射对于一个拓扑流形保持Rⁿ自然的微分结构（也就是说，如果它们是微分同胚），该微分结构就传到了流形上并把它变成微分流形。

通常，流形的结构依赖于图册，但有时不同的图册给出相同的结构。这样的图册称为相容的。

构造

一个流形可以以不同方式构造，每个方式强调了流形的一个方面，因而导致了不同的观点。

图册构造

该坐标图把球面有正 z坐标的部分映射到一个圆盘。

构造一个流形的一个简单方法是在上面的例子中的圆圈的构造方法。首先，确认R²的一个子集，然后覆盖这个子集的图册被构造出来。流形的概念历史上就是从这样的构造发展出来的。这里有另一个例子，把这个方法应用在球面的构造上:

带图册的球面

球面的表面可以几乎和圆圈一样的方法来处理。可把球面视作R³的子集:

球面是二维的，所以每个坐标图将映射球面的一部分到一个R²的开子集。例如考虑北半球，它是带正z坐标的部分。（在右图中它着红色）定义如下的函数χ

把北半球映射到开单位圆盘，通过把它投影到（x, y）平面。类似的坐标图对南半球也存在。和投影到（x, z）平面的两个坐标图以及投影到（y, z）平面的两个坐标图一起，就得到了一个覆盖整个球面的含6个坐标图的图册。

这可以很容易地扩展到高维的球面。

贴补

流形可以通过把碎片以一种相容的方式粘合来构造，使得碎片成为互相覆盖的坐标图。这种构造对于任何流形都是可行的，所以经常作为流形的表述，特别是微分和黎曼流形。它集中于图册的构造，把流形作为坐标图所自然的提供的贴片，因为不涉及外部的空间，这导致了流形的内在的观点。

这里，流形通过给定图册来构造，图册通过定义转换映射来得到。流形的一个点因而是指通过变换映射映到同一个点的坐标点的等价类。坐标图把等价类映射到一个贴片上的点。通常会对变换映射有很强的一致性要求。对于拓扑流形，它们被要求为同胚；如果它们也是微分同胚，最后得到的流形就是微分流形。

这可以通过变换映射圆圈例子的第二部分中的t = ¹⁄_s来解释。从直线的两个拷贝开始。第一个拷贝用坐标s，第二个拷贝用t。现在，通过把第二个拷贝上的点t和第一个拷贝上的点¹⁄_s作为同一个点来粘合起来(点t = 0不和任何第一个拷贝上的点认同)。这就给出了一个圆圈。

内在和外在的观点

第一种构造和这种构造非常相似，但是他们代表了相当不同的观点。在第一种构造中，流形被视为嵌入到某个欧几里得空间中。这是外在的观点。当一个流形用这种方式来看的时候，它很容易通过直觉从欧几里得空间得到附加的结构。例如，在欧几里得空间，很明显某个点的一个向量是否和穿过该点的曲面 相切或者垂直。

贴补构造不用任何嵌入，只是简单把流形看作拓扑空间本身。这个抽象的观点称为内在的观点。这使得什么是切向量更难以想象。但是它表达了流形的本质，在计算上来讲，这可以避免使用更高的维数，例如只要二维而不是三维就可以作球面上的计算。

作为贴补的n维球面

n维球面 S ⁿ可以通过粘合 R ⁿ的两个拷贝来构造。他们之间的变换函数定义为

这个函数是它自身的逆，因而可以在两个方向使用。因为变换映射是一个 光滑函数，这个图册定义了一个光滑流形。

如果取 n = 1，就得到了上面圆圈的例子。

函数的零点

很多流形可以定义为某个函数的零点集。这个构造自然的把流形嵌入一个欧几里得空间，因而导向一个外在的观点。这很形象，但不幸的是不是每个流形都可以这样表示。

如果一个可微函数的雅可比矩阵在函数为0的每一点是满秩的，则根据隐函数定理，每个这样的点周围存在一个为0的领域微分同胚于一个欧几里得空间。因此零点集是一个流形。

作为一个函数零点的n维球面

n维 球面 S ⁿ经常定义为

这等价为如下函数的零点

这个函数的雅可比矩阵是

，

它的秩对于除了原点的所有点为1(对于1× n矩阵就是满秩的)。这证明 n维球面是一个微分流形。

认同一个流形上的不同点

可以把流形上的不同点定义为相同。这可以视为把不同的点粘合为同一个点。结果经常不是流形，但在有些情况下是流形。

这些情况下，认同过程是用群来完成的，这是作用在流形上的群。两个点被视为同一个如果一个能被该群的一个元素移动到另一个上面。如果M是该流形而G是该群，结果空间称为商空间，并记为M/G。可以通过认同点来构造的流形包括环面和实射影空间（分别从一个平面和一个球面开始）。

直积

流形的直积也是流形。但不是每个流形都是一个积。

积流形的维数是其因子的维数之和。其拓扑是乘积拓扑，而坐标图的直积是积流形的坐标图。这样，积流形的图册可以用其因子的图册构造。如果这些图册定义了因子上的微分结构，相应的积图册定义了积流形上的一个微分结构。因子上定义的其他结构也可以同样处理。如果一个因子有一个边界，积流形也有边界。直积可以用来构造环面和有限圆柱面，例如，分别定义它们为S¹ × S¹和S¹ × [0, 1]。

有限圆柱面是带边界的流形。

沿边界粘合

两个带边界的流形可以沿着边界粘合。如果用正确的方式完成，结果也是流形。类似的，一个流形的两个边界也可以粘合起来。

形式化的，粘合可以定义为两个边界的一个双射。两个点被认同为一个，如果它们互相映射到对方。对于一个拓扑流形，这个双射必须是同胚，否则结果就不是拓扑流形。类似的，对于一个微分流形，它必须是微分同胚。对于其它流形，其他的结构必须被这个双射所保持。

有限的圆柱面可以作为一个流形构造，先从一个长条R × [0, 1]开始，然后把对边通过适当的微分同胚粘合起来。克莱因瓶可以由一个带孔的球面和一个莫比乌斯带沿着各自的圆形边界粘合起来得到。

拓扑流形

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最容易定义的流形是拓扑流形，它局部看起来象一些“普通”的欧几里得空间Rⁿ。形式化地讲，一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧几里得空间的拓扑空间。这表示每个点有一个邻域，它有一个同胚（连续双射其逆也连续）将它映射到Rⁿ。这些同胚是流形的坐标图。

通常附加的技术性假设被加在该拓扑空间上，以排除病态的情形。可以根据需要要求空间是豪斯多夫的并且第二可数。这表示下面所述的有两个原点的直线不是拓扑流形，因为它不是豪斯朵夫的。

流形在某一点的维数就是该点映射到的欧几里得空间图的维数（定义中的数字n）。连通流形中的所有点有相同的维数。有些作者要求拓扑流形的所有的图映射到同一欧几里得空间。这种情况下，拓扑空间有一个拓扑不变量，也就是它的维数。其他作者允许拓扑流形的不交并有不同的维数。

微分流形

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很容易定义拓扑流形，但是很难在它们上面工作。对于多数应用，拓扑流形的一种，微分流形比较好用。如果流形上的局部坐标图以某种形式相容，就可以在该流形上讨论方向，切空间，和可微函数。特别是，可以在微分流形上应用“微积分”。

可定向性

考虑一个拓扑流形，其坐标图映射到Rⁿ。给定一个Rⁿ的有序基，坐标图就给它所覆盖的流形的一片引入了一个方向，可以视为或者右手或者左手的。重叠的坐标图不要求在方向上一致，这给了流形一个重要的自由度。对于某些流形，譬如球面，可以选取一些坐标图使得重叠区域在"手性"上一致；这些流形称为"可定向"的。对于其它的流形，这不可能做到。后面这种可能性容易被忽视，因为任何在三维空间中（不自交的）嵌入的闭曲面都是可定向的。

考虑三个例子: (1)莫比乌斯带，它是有边界的流形，（2）克莱因瓶，它在三维空间必须自交，以及（3）实射影平面，它很自然的出现在几何学中。

莫比乌斯带

莫比乌斯带

从一个竖着的无限圆柱面开始，这是一个无边界的流形。在高和低的地方各剪一刀，产生两个圆形边界，和它们之间的一个圆形的带子。这是一个带边界的可定向流形，若在它上面动一个小"手术"。把带子剪开，使得它能展开成一个矩形，但把两头捏住。把其中一头转180°，把内面翻倒朝外，然后把两头无缝的粘回来。现在有了一个永久半翻转的带子，就是莫比乌斯带。它的边界不再是一对圆圈，而是（拓扑上）单个圆圈；曾经是"内面"的现在和"外面"并了起来，使得它只有"单"面。（在打印机的色带中有这种左扭带的应用。）

克莱因瓶

嵌入到三维空间的 克莱因瓶。

取两个莫比乌斯带；每个都以一个圈为边界。把每个圈拉成一个圆圈，并把带子变成交叉帽（cross-cap）。（注意这在三维空间物理上是不可能的；克莱因瓶不能放到三维空间中，就像莫比乌斯带（或者球面）不能放在平面上一样。实际建造一个克莱因瓶必需在至少四维的空间进行）把圆圈粘合起来会产生一个新的闭合流形，没有边界的克莱因瓶。把曲面闭合起来并不能改变不可定向性，它只是移除了边界。这样克莱因瓶就成了一个不能分辨内外的闭合曲面。

实射影平面

从圆心为原点的球面开始。穿过原点的每条直线在两个相对的点穿透球面。虽然在物理上不能这么做，但在数学上可以把相对点合并为同一点。这样产生的闭合曲面是实射影平面，又一个不可定向曲面。它有一些等价 的表述和构造，但是这个方法揭示了它的名字:所有给定的穿过原点的直线射影到该"平面"的一个"点"。

豪斯多夫假设

两个原点的线

这里给出一个空间的例子，它满足拓扑流形所有的条件，除了它不是豪斯多夫空间（Hausdorff space）。取两个R的拷贝，把它们写作

 and  ,

并定义如下等价关系

 if  .

从这个等价关系得到的商空间L是一个象实直线那样的空间，除了有两个点"占据"了原点。特别的是，它们不能被不交的开集所分离，所以L不是豪斯朵夫的。它是一个拓扑流形，但不是豪斯多夫拓扑流形。

经常，拓扑流形被定义为必须是豪斯多夫的，在这个定义下，上面的例子不是流形。

流形的其他类型和推广

要在流形上研究几何，通常必须用附加的结构来装饰这些空间，例如上面的微分流形所加入的微分结构。根据所需要的不同的几何，有许多其它的可能性:

• 复流形: 复流形是建模在Cⁿ上的流形，在坐标图的重叠处以全纯函数为变换函数。这些流形是复几何研究的基本对象。一个一维复流形称为黎曼曲面。

• 巴拿赫和Fréchet流形:要允许无穷维，可以考虑巴拿赫流形，它局部同胚于巴拿赫空间。类似的，Fréchet流形局部同胚于Fréchet space。

• 轨形（Orbifolds）:一个轨形是流形的推广，允许某种"奇异点"在其拓扑中存在。大致来讲，它是局部看起来像一些简单空间（例如，欧几里得空间）通过各种有限群的群作用的商。奇点对应于群作用的不动点，而作用必须在某种意义下相容。

• 代数簇和概形（Algebraic varieties and schemes）:一个代数簇是几个仿射代数簇粘起来得到的，仿射代数簇是在代数封闭的域上多项式的零点集。类似的，概形是仿射概形粘起来得到的，而仿射概形是代数簇的一个推广。二者都和流形相关，但都使用层而非坐标图集来构造。

转自：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%81%E5%BD%A2