线性代数(一) : 线性空间

线性代数作为数学的一个分支,广泛的应用于物理学，经济学,计算机图形学等等各种领域。在数学领域线性代数也已经广泛的渗透到其他分支。总之它对很多人都是很有利的数学工具。下面从最基本的概念开始一步一步走进线性世界。

下面是一些概念,他们是基础的，重要的：

1 代数：

代数的英文是 Algebra，在其原语阿拉伯语中的意思是“结合”，也就是把一些看似不同的东西的共同性质抽象出来。抽象的目的在于将一些看似不同的问题归结为具有相同结构性质的同一个问题。使用统一的方法进行处理，从而将某些看似复杂的问题简化。

2 线性：

线性这个词总是让大家觉得似懂非懂。

下面是一些线性函数和非线性函数的图像：

凭直觉上边的时线性函数。

下边给出线性的两个性质：

性质1：可加性： 若函数f（x）是线性的： f（x1 + x2） = f（x1）+f（x2）

     这种累加是没有相互激励和内耗的，“1”+ “1”= “2” 既不大于也不小于“2”

性质2：比例性： 若函数f（x）是线性的： f（kx） = kf（x） 

     比例性也就是经常听说的齐次性或者说均匀性。

    （可以用性质1推出性质2，所以本质上是一个性质）

在这种定义下给出线性和非线性的几个例子：

1） f （x） = ax  是线性的

2） f （x） = ax+b 是非线性的 （它不满足性质2. ）

3） f （x） = lnx 是非线性的 （性质1和2都不满足）

4） 某些液体的混合是非线性的  ：100ml水 + 100ml酱油 <200ml (因为酱油溶于水)

这就是带有内耗的累加的一个例子。

3 域 :

简单起见不完整定义这个概念。（抽象代数中域进行了明确的定义）

这里是为了引出线性空间而定义得。

实数域：所有的实数构成的集合.（通常记为，后边会经常出现这个 别忘了）

复数域 :  所有复数构成的集合. （通常记为）

4 线性空间 :

线性空间是定义在域K（大家习惯用K表示一个域）上的一个数学对象，

它定义了加法（+）和 数乘 运算。

定义x，y ,z属于线性空间X。a，k 是域 K 上的元素。则线性空间要满足如下的性质：

1） 加法交换律 ： x + y = y +x

2） 加法结合律 ： x + （y + z） = （x + y） + z

3 )  包含零元素（这里计做0但边不是数字0）:  x + 0 = x

4 )  加法的逆运算记作 “-”： x - x = 0  （等价于 x +（-x））

5） 数乘结合律 ： k（ax） = （ka）x

6） 数乘分配率 ： k（x +y） = kx + ky   以及 （a+b）x = ax +bx

7） 存在单位（记作1）满足： 1x = x

以上就是线性空间的全部公理，满足这些的才叫线性空间。

而线性代数说简练些就是研究线性空间的结构运算和性质的代数学。

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以下是两个线性空间的例子（这里需要依次验证以上7条性质以证明的确是线性空间）：

(i) 全体行向量（a1，...,an）(aj∈  ) 所构成的集合。 加法和数乘依据分量定义

   （也就是实数加法和乘法）这个空间经常记作

      证明： 令 v1 = （a1，...,an）   v2 = （b1，..., bn） v3=(c1,..., cn), k1,k2∈ 

1)  v1 + v2 = (a1+b1,...,an+bn) ; v2 +v1  = (b1+a1,...,bn+an); 

     对于实数加法有 a1 + b1 = b1 + a1;... ...

     所以 v1 + v2 = v2 + v1;

2)  v1 + (v2+v3) = (a1,...,an)+(b1+c1,...,bn+cn)

                            = (a1+(b1+c1),...,an+(bn+cn))

                            = ((a1+b1)+c1,...,(an+bn)+cn)

                            = (v1+v2)+v3

3)  v1+(0, ... ,0) = (a1+0 ,..., an+0) = (a1 ,..., an) = v1

4)  v1 - v1 = (a1-a1 ,..., an-an) = (0 ,..., 0)

5)  k1(k2v1)=k1(k2a1 ,..., k2an)= (k1k2a1 ,..., k1k2an)

                    =((k1k2)a1 ,..., (k1k2)an)

                    = k1k2(a1 ,..., an)

                    = (k1k2)v1

6)  k1(v1+v2) = k1(a1+b1 ,..., an+bn)

                        = (k1a1+k1b1 ,..., k1an+k1bn)

                        = k1v1 + k1v2

     (k1+k2)v1 = ((k1+k2)a1 ,..., (k1+k2)an)

                       = (k1a1+k2a1 ,..., k1an+k2an)

                       = (k1a1 ,..., k1an) + (k2a1 ,..., k2an)

                       = k1v1 + k2v1

7)  1v1 = (1*a1 ,..., 1*an) = (a1 ,..., an) = v1

(ii)全体系数取自并且次数<n的多项式所构成的集合。（证明留给读者）