三个经典的博弈问题

转载来源：http://blog.jjjxxx.com.cn/u/Demu/Blog.aspx/t-22587

 

 

有一种很有意思的游戏不知道你玩儿过没有，就是有物体若干堆，可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏，别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。

 

（一）巴什博奕（Bash Game）：
    只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。
显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：
    如果n=(m+1)r+s，(r为任意自然数，0<s≤m),那么(1)先取者必须拿走s个物品，(2)如果后取者拿走k(k≤m)个，(3)那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下(m+1)(r-1)个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下(m+1)的倍数，就能最后获胜。
这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。

 

（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：
   有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。我们用(a[k]，b[k])(a[k] ≤ b[k]，k=0,1,2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面(0，0)，那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：(0，0)、(1，2)、(3，5)、(4，7)、(6，10)、(8，13)、(9，15)、(11，18)、(12，20)。
可以看出,a[0]=b[0]=0,a[k]是未在前面出现过的最小自然数,而 b[k]= a[k] +k，奇异局势有如下三条性质：
1.任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于a[k]是未在前面出现过的最小自然数，所以有a[k] > a[k-1] ，而 b[k]= a[k] + k > a[k-1] + k-1 = b[k-1] > a[k-1]。所以性质1。成立。

2.任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上，若只改变奇异局势(a[k]，b[k])的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使(a[k]，b[k])的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。

3.采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。
假设面对的局势是(a,b)。
如果a = a[k] ，b > b[k]，那么，取走b- b[k]个物体，即变为奇异局势；
如果a = a[k]，b < b[k] ,则同时从两堆中拿走a[k] - a[b-a[k]](注：b - a[k] <k 所以 a[k]> a[b-a[k]])个物体,变为奇异局势(a[b-a[k]], a[b-a[k]] + b - a[k])；
如果a > a[k]，b= a[k] + k, 则从第一堆中拿走多余的数量a - a[k] 即可；如果a < a[k] ，b = a[k] + k,分两种情况，第一种，a = a[j] (j < k),从第二堆里面拿走 b - b[j] 即可；第二种，a = b[j] (j < k), 从第二堆里面拿走 b - a[j] 即可。

从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。
那么任给一个局势(a，b)，怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：
a[k] =[k(1+√5)/2]，b[k] = a[k] + k (k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函数)
奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1.618...,因此,由a[k]，b[k]组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/(1+√5)=(√5-1)/2，可以先求出j = [a(√5-1)/2]，若a =[j(1+√5)/2]，那么a = a[j]， b[j] = a[j] + j，若不等于，那么a = a[j] + 1，b[j+1] = a[j+1] + j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

 

（三）尼姆博奕（Nimm Game）：
    有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用(a, b, c)表示某种局势，首先(0, 0, 0)显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是(0, n, n)，只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致(0，0，0)。仔细分析一下，(1，2，3)也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为(0，n，n)的情形。
计算机算法里面有一种叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算，先看（1，2，3）,1(+)2(+)3=0

1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 （+）
———————
0 =二进制00

对于奇异局势(0，n，n)也一样，结果也是0。
任何奇异局势(a，b，c)都有a(+)b(+)c =0。
如果我们面对的是一个非奇异局势(a，b，c)，要如何变为奇异局势呢？假设 a < b < c,我们只要将 c 变为 a(+)b,即可,因为有如下的运算结果: a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)0=0。要将c 变为a(+)b，只要从 c中减去 c-(a(+)b)即可。
例1.(14，21，39)，14(+)21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势(14，21，27)。
例2.(55，81，121)，55(+)81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势(55，81，102)。
例3.(29，45，58)，29(+)45=48，58-48=10，从58中拿走10个，变为(29，45，48)。
例4。我们来实际进行一盘比赛看看：
甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势
乙:(1,8,9)->(1,8,4)
甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势
乙:(1,5,4)->(1,4,4)
甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势
乙:(0,4,4)->(0,4,2)
甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势
乙:(0,2,2)->(0,2,1)
甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势
乙:(0,1,1)->(0,1,0)
甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势
甲胜。

尼姆博奕推广：
    有n堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜.
任何奇异局势(a1, a2, … , an)，都有a1(+)a2(+)…(+)an =0.