有限元：什么是有限元分析法

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　　通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无需把东西真的做出来。这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。

    有限元法也叫有限单元法（finite element method, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。

    有限元法最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。

    事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。

    有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。

    大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。

    有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。

    有限元法在工程中最主要的应用形式是结构的优化，如结构形状的最优化，结构强度的分析，振动的分析等等。有限元法在超过五十年的发展历史中，解决了大量的工程实际问题，创造了巨大的经济效益。有限元法的出现，使得传统的基于经验的结构设计趋于理性，设计出的产品越来越精细，尤为突出的一点是，产品设计过程的样机试制次数大为减少，产品的可靠性大为提高。压力容器的结构应力分析和形状优化，机床切削过程中的振动分析及减振，汽车试制过程中的碰撞模拟，发动机设计过程中的减振降噪分析，武器设计过程中爆轰过程的模拟、弹头形状的优化等等，都是目前有限元法在工程中典型的应用。

    经过半个多世纪的发展和在工程实际中的应用，有限元法被证明是一种行之有效的工程问题的模拟仿真方法，解决了大量的工程实际问题，为工业技术的进步起到了巨大的推动作用。但是有限元法本身并不是一种万能的分析、计算方法，并不适用于所有的工程问题。对于工程中遇到的实际问题，有限元法的使用取决于如下条件：产品实验或制做样机成本太高，实验无法实现，而有限元计算能够有效地模拟出实验效果、达到实验目的，计算成本也远低于实验成本时，有限元法才成为一种有效的选择。

    有限元法经过多年的发展，其基本的数值算法都已经固定下来，商业化的软件也超过1000种。在这些大大小小的有限元软件中，其基本的、核心的算法都是一样的，没有太大的不同，甚至很多软件核心部分的代码都是相同的，它们主要的不同表现在一下几个方面：

1. 计算部分的功能强弱不一样。

    除了基本的线性分析能力之外，大多数软件都开发了针对各种非线性问题的分析能力，如塑性、蠕变、大位移、大变形、接触分析能力，一些特殊材料模式的处理能力，各种物理场之间的耦合能力，最典型的，如热-结构之间的耦合，流体-结构之间的耦合等等，计算功能的强弱就体现在这些方面。

2. 软件易用性上的不同。这主要体现在建模上。

    早期的有限元软件都只是一个计算部分，即求解器，模型是通过数据文件的形式提交的，用户的建模工作就是编写数据文件，工作量相当大。现在的软件一般都有相应的图形界面的建模工具，即前处理器，通过图形方式建模，由软件自动生成计算部分所需的数据文件。到目前为止，仍然有超过70%的软件，其前处理跟求解器之间并不是无缝的，求解器需要的数据文件不能完全由前处理部分生成，缺少的部分仍然需要由用户人工修改、添加。最典型的，如PATRAN和NASTRAN，AUI和ADINA，CAE和ABAQUS，这还是求解器跟各自专用的前处理之间的连接情况，其它兼容的前处理跟求解器之间的连接则问题更多。

    前处理建模功能的强弱，这主要反映在复杂模型的建模效率上。通常情况下，有限元软件的前处理建模能力远低于CAD软件的建模能力，为此都开发有针对不同CAD软件的建模接口。CAD软件对模型的要求与有限元软件对模型的要求不同，模型的导入过程实际是一种转换过程，转换质量的高低，各个软件接口是不同的。接口的多少和转换质量也成为评价建模能力的一个重要标志。

3. 用户的二次开发能力。 

    在求解器提供的标准的分析功能之外，允许用户在一定程度上开发适合自己需要的建模、分析功能，如特殊材料模型，特殊的单元类型，专门针对某一类问题的分析等。绝大部分软件用户都不是真正需要这部分功能，这只是对有特殊需要的用户来说是至关重要的，例如某些研究机构。

4. 历史的因素。

    主要是行业和商业上的因素。一些软件在发展过程中，在某一行业占有传统的优势，逐渐沿袭下来，成为一种行业习惯和行业工具，乃至成为事实上的行业标准，并不是因为软件本身的原因。例如NASTRAN在全世界的航空领域，SAP2000在建筑行业，ANSYS在中国的铁路机车行业，ABAQUS在中国的汽车行业，都是一些典型的例子。