Stanford机器学习---第三讲. 逻辑回归和过拟合问题的解决 logistic Regression & Regularization

本栏目(Machine learning)包括单参数的线性回归、多参数的线性回归、Octave Tutorial、Logistic Regression、Regularization、神经网络、机器学习系统设计、SVM(Support Vector Machines 支持向量机)、聚类、降维、异常检测、大规模机器学习等章节。所有内容均来自Standford公开课machine learning中Andrew老师的讲解。(https://class.coursera.org/ml/class/index



第三讲-------Logistic Regression & Regularization


本讲内容:

Logistic Regression

=========================

(一)、Classification

(二)、Hypothesis Representation

(三)、Decision Boundary

(四)、Cost Function

(五)、Simplified Cost Function and Gradient Descent

(六)、Parameter Optimization in Matlab

(七)、Multiclass classification : One-vs-all


The problem of overfitting and how to solve it

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(八)、The problem of overfitting

(九)、Cost Function

(十)、Regularized Linear Regression

(十一)、Regularized Logistic Regression


本章主要讲述逻辑回归和Regularization解决过拟合的问题,非常非常重要,是机器学习中非常常用的回归工具,下面分别进行两部分的讲解。


第一部分:Logistic Regression


/*************(一)~(二)、Classification / Hypothesis Representation***********/

假设随Tumor Size变化,预测病人的肿瘤是恶性(malignant)还是良性(benign)的情况。

给出8个数据如下:

   Stanford机器学习---第三讲. 逻辑回归和过拟合问题的解决 logistic Regression & Regularization_第1张图片


假设进行linear regression得到的hypothesis线性方程如上图中粉线所示,则可以确定一个threshold:0.5进行predict

y=1, if h(x)>=0.5

y=0, if  h(x)<0.5

即malignant=0.5的点投影下来,其右边的点预测y=1;左边预测y=0;则能够很好地进行分类。

那么,如果数据集是这样的呢?

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这种情况下,假设linear regression预测为蓝线,那么由0.5的boundary得到的线性方程中,不能很好地进行分类。因为不满足

y=1, h(x)>0.5

y=0, h(x)<=0.5

这时,我们引入logistic regression model

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所谓Sigmoid function或Logistic function就是这样一个函数g(z)见上图所示

当z>=0时,g(z)>=0.5;当z<0时,g(z)<0.5

由下图中公式知,给定了数据x和参θ,y=0和y=1的概率和=1






/*****************************(三)、decision boundary**************************/

所谓Decision Boundary就是能够将所有数据点进行很好地分类的h(x)边界。

如下图所示,假设形如h(x)=g(θ0+θ1x1+θ2x2)的hypothesis参数θ=[-3,1,1]T, 则有

predict Y=1, if -3+x1+x2>=0

predict Y=0, if -3+x1+x2<0

刚好能够将图中所示数据集进行很好地分类

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Another Example:

answer:

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除了线性boundary还有非线性decision boundaries,比如

下图中,进行分类的decision boundary就是一个半径为1的圆,如图所示:

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/********************(四)~(五)Simplified cost function and gradient descent<非常重要>*******************/


该部分讲述简化的logistic regression系统中how to implement gradient descents for logistic regression.

假设我们的数据点中y只会取0和1, 对于一个logistic regression model系统,有Stanford机器学习---第三讲. 逻辑回归和过拟合问题的解决 logistic Regression & Regularization_第7张图片,那么cost function定义如下:

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由于y只会取0,1,那么就可以写成

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不信的话可以把y=0,y=1分别代入,可以发现这个J(θ)和上面的Cost(hθ(x),y)是一样的(*^__^*) ,那么剩下的工作就是求能最小化 J(θ)的θ了~

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在第一章中我们已经讲了如何应用Gradient Descent, 也就是下图Repeat中的部分,将θ中所有维同时进行更新,而J(θ)的导数可以由下面的式子求得,结果如下图手写所示:

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现在将其带入Repeat中:

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这是我们惊奇的发现,它和第一章中我们得到的公式Stanford机器学习---第三讲. 逻辑回归和过拟合问题的解决 logistic Regression & Regularization_第13张图片是一样滴~

也就是说,下图中所示,不管h(x)的表达式是线性的还是logistic regression model, 都能得到如下的参数更新过程。

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那么如何用vectorization来做呢?换言之,我们不要用for循环一个个更新θj,而用一个矩阵乘法同时更新整个θ。也就是解决下面这个问题:

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上面的公式给出了参数矩阵θ的更新,那么下面再问个问题,第二讲中说了如何判断学习率α大小是否合适,那么在logistic regression系统中怎么评判呢?

Q:Suppose you are running gradient descent to fit a logistic regression model with parameter  θRn+1 . Which of the following is a reasonable way to make sure the learning rate  α  is set properly and that gradient descent is running correctly?

A:





/*************(六)、Parameter Optimization in Matlab***********/


这部分内容将对logistic regression 做一些优化措施,使得能够更快地进行参数梯度下降。本段实现了matlab下用梯度方法计算最优参数的过程。

首先声明,除了gradient descent 方法之外,我们还有很多方法可以使用,如下图所示,左边是另外三种方法,右边是这三种方法共同的优缺点,无需选择学习率α,更快,但是更复杂。

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也就是matlab中已经帮我们实现好了一些优化参数θ的方法,那么这里我们需要完成的事情只是写好cost function,并告诉系统,要用哪个方法进行最优化参数。比如我们用‘GradObj’, Use the GradObj option to specify that FUN also returns a second output argument G that is the partial derivatives of the function df/dX, at the point X.


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如上图所示,给定了参数θ,我们需要给出cost Function. 其中,

jVal 是 cost function 的表示,比如设有两个点(1,0,5)和(0,1,5)进行回归,那么就设方程为hθ(x)=θ1x1+θ2x2;
则有costfunction J(θ): jVal=(theta(1)-5)^2+(theta(2)-5)^2;

在每次迭代中,按照gradient descent的方法更新参数θ:θ(i)-=gradient(i),其中gradient(i)是J(θ)对θi求导的函数式,在此例中就有gradient(1)=2*(theta(1)-5), gradient(2)=2*(theta(2)-5)。如下面代码所示:


函数costFunction, 定义jVal=J(θ)和对两个θ的gradient:


[cpp]  view plain copy
  1. function [ jVal,gradient ] = costFunction( theta )  
  2. %COSTFUNCTION Summary of this function goes here  
  3. %   Detailed explanation goes here  
  4.   
  5. jVal= (theta(1)-5)^2+(theta(2)-5)^2;  
  6.   
  7. gradient = zeros(2,1);  
  8. %code to compute derivative to theta  
  9. gradient(1) = 2 * (theta(1)-5);  
  10. gradient(2) = 2 * (theta(2)-5);  
  11.   
  12. end  



编写函数Gradient_descent,进行参数优化

[cpp]  view plain copy
  1. function [optTheta,functionVal,exitFlag]=Gradient_descent( )  
  2. %GRADIENT_DESCENT Summary of this function goes here  
  3. %   Detailed explanation goes here  
  4.   
  5.  options = optimset('GradObj','on','MaxIter',100);  
  6.  initialTheta = zeros(2,1)  
  7.  [optTheta,functionVal,exitFlag] = fminunc(@costFunction,initialTheta,options);  
  8.     
  9. end  



matlab主窗口中调用,得到优化厚的参数(θ1,θ2)=(5,5),即hθ(x)=θ1x1+θ2x2=5*x1+5*x2


[cpp]  view plain copy
  1.  [optTheta,functionVal,exitFlag] = Gradient_descent()  
  2.   
  3. initialTheta =  
  4.   
  5.      0  
  6.      0  
  7.   
  8.   
  9. Local minimum found.  
  10.   
  11. Optimization completed because the size of the gradient is less than  
  12. the default value of the function tolerance.  
  13.   
  14. <stopping criteria details>  
  15.   
  16.   
  17. optTheta =  
  18.   
  19.      5  
  20.      5  
  21.   
  22.   
  23. functionVal =  
  24.   
  25.      0  
  26.   
  27.   
  28. exitFlag =  
  29.   
  30.      1  


最后得到的结果显示出优化参数optTheta=[5,5], functionVal = costFunction(迭代后) = 0





/*****************************(七)、Multi-class Classification One-vs-all**************************/

所谓one-vs-all method就是将binary分类的方法应用到多类分类中。

比如我想分成K类,那么就将其中一类作为positive,另(k-1)合起来作为negative,这样进行K个h(θ)的参数优化,每次得到的一个hθ(x)是指给定θ和x,它属于positive的类的概率。Stanford机器学习---第三讲. 逻辑回归和过拟合问题的解决 logistic Regression & Regularization_第18张图片


按照上面这种方法,给定一个输入向量x,获得最大hθ(x)的类就是x所分到的类。


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第二部分:
The problem of overfitting and how to solve it



/************(八)、The problem of overfitting***********/


The Problem of overfitting:

overfitting就是过拟合,如下图中最右边的那幅图。对于以上讲述的两类(logistic regression和linear regression)都有overfitting的问题,下面分别用两幅图进行解释:


<Linear Regression>:

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<logistic regression>:

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怎样解决过拟合问题呢?两个方法:

1. 减少feature个数(人工定义留多少个feature、算法选取这些feature)

2. 规格化(留下所有的feature,但对于部分feature定义其parameter非常小)

下面我们将对regularization进行详细的讲解。

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对于linear regression model, 我们的问题是最小化

写作矩阵表示即

i.e. the loss function can be written as

there we can get:

After regularization, however,we have:








/************(九)、Cost Function***********/
对于Regularization,方法如下,定义cost function中θ3,θ4的parameter非常大,那么最小化cost function后就有非常小的θ3,θ4了。

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写作公式如下,在cost function中加入θ1~θn的惩罚项:

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这里要注意λ的设置,见下面这个题目:

Q:

    A:λ很大会导致所有θ≈0


下面呢,我们分linear regression 和 logistic regression分别进行regularization步骤.






/************(十)、Regularized Linear Regression***********/

<Linear regression>:

首先看一下,按照上面的cost function的公式,如何应用gradient descent进行参数更新。

对于θ0,没有惩罚项,更新公式跟原来一样

对于其他θj,J(θ)对其求导后还要加上一项(λ/m)*θj,见下图:

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如果不使用梯度下降法(gradient descent+regularization),而是用矩阵计算(normal equation)来求θ,也就求使J(θ)min的θ,令J(θ)对θj求导的所有导数等于0,有公式如下:

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而且已经证明,上面公式中括号内的东西是可逆的。







/************(十一)、Regularized Logistic Regression***********/

<Logistic regression>:

前面已经讲过Logisitic Regression的cost function和overfitting的情况,如下图中所示:

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和linear regression一样,我们给J(θ)加入关于θ的惩罚项来抑制过拟合:

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用Gradient Descent的方法,令J(θ)对θj求导都等于0,得到

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这里我们发现,其实和线性回归的θ更新方法是一样的。

When using regularized logistic regression, which of these is the best way to monitor whether gradient descent is working correctly?



和上面matlab中调用那个例子相似,我们可以定义logistic regression的cost function如下所示:

Stanford机器学习---第三讲. 逻辑回归和过拟合问题的解决 logistic Regression & Regularization_第30张图片

图中,jval表示cost function 表达式,其中最后一项是参数θ的惩罚项;下面是对各θj求导的梯度,其中θ0没有在惩罚项中,因此gradient不变,θ1~θn分别多了一项(λ/m)*θj;

至此,regularization可以解决linear和logistic的overfitting regression问题了~


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