思路:(具体参考《算法艺术与信息学竞赛》)
1,先化简均方差公式,可以看出,只需要让每个分割后的矩形的总分的平方和尽量小,即可使均方差最小。
2,考虑左上角坐标为(x1,y1),右下角坐标为(x2,y2)的棋盘,设它的总和为s[x1,y1,x2,y2]切割k次以后得到k+1块矩形的总分平方和最小值为d[k,x1,y1,x2,y2],则它可以沿着横线切,也可以沿着竖线切,然后选一块继续切(递归)。。
3,由1,2部可以得到状态转移方程:
d[k,x1,y1,x2,y2]=
min{
min{d[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2]^2,d[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]^2},
min{d[k-1,x1,y1,x2,b]+s[x1,b+1,x2,y2]^2,d[k-1,x1,b+1,x2,y2]+s[x1,y1,x2,b]^2}
}其中:(x1<=a<x2),(y1<=b<y2);初始值,对于k==0,d[k,x1,y1,x2,y2]=s[x1,y1,x2,y2]^2;
CODE:
/*记忆化搜索*/ /*AC代码:0ms*/ #include <iostream> #include <cmath> #define INF 99999999//这里不能用0x7fffffff会溢出而WA #define min(a,b) (a<b?a:b) int s[9][9];//s[i][j]记录(1,1)-(i,j)中所有元素的和 int dp[16][9][9][9][9]; int N; double ave; void get_s() { int i,j,temp,v; memset(s,0,sizeof(s)); memset(dp,-1,sizeof(dp)); for(i=1;i<=8;i++) { for(j=1,temp=0;j<=8;j++) { scanf("%d",&v); temp+=v; s[i][j]=temp; if(i>1) s[i][j]+=s[i-1][j]; } } ave=((double)s[8][8])*1.0/N; } int get_sum(int x1,int y1,int x2,int y2) { int ans=0; ans+=s[x2][y2]; if(x1>1) ans-=s[x1-1][y2]; if(y1>1) ans-=s[x2][y1-1]; if(x1>1&&y1>1) ans+=s[x1-1][y1-1]; return ans*ans;//关键 } int dfs(int k,int x1,int y1,int x2,int y2) { int i,w1,w2,temp; if(dp[k][x1][y1][x2][y2]!=-1) return dp[k][x1][y1][x2][y2]; if(k==1) { dp[k][x1][y1][x2][y2]=get_sum(x1,y1,x2,y2); return dp[k][x1][y1][x2][y2]; } int ans=INF; for(i=x1;i<x2;i++)//水平切割 { w1=dfs(k-1,x1,y1,i,y2)+get_sum(i+1,y1,x2,y2); w2=dfs(k-1,i+1,y1,x2,y2)+get_sum(x1,y1,i,y2); temp=min(w1,w2); ans=min(ans,temp); } for(i=y1;i<y2;i++) { w1=dfs(k-1,x1,y1,x2,i)+get_sum(x1,i+1,x2,y2); w2=dfs(k-1,x1,i+1,x2,y2)+get_sum(x1,y1,x2,i); temp=min(w1,w2); ans=min(ans,temp); } dp[k][x1][y1][x2][y2]=ans; return ans; } int main() { while(scanf("%d",&N)!=EOF) { get_s(); int ans=dfs(N,1,1,8,8); //printf("%d %.3lf\n",ans,ave); double res=((double)ans)*1.0/N-ave*ave; printf("%.3lf\n",sqrt(res)); } return 0; }