动态规划举一反三2(计数问题)

1计数问题

我们再举一个例子来研究动态规划，看下面的题：

题目描述：有n个无区别的物品，将他们划分成不超过m组，共有多少种划分数？

限制条件：1<=m<=n<=1000

举例：n=4,m=3,输出为4（1+1+2,1+3,2+2）

把这个问题简单概括为n的m划分。

我们来分析下怎样用动态规划解决这种排列组合类的问题。

既然就两个变量，我们就用 dp[i][j] 来表示j的i划分数，然后i从1到m，j从1到n两层循环就行了。

再来看递推式：将j划分成i份，那先取出个k，再将j-k划分成i-1份就行了，那么递推式是：

dp[i][j]=求和（k从0到j）：dp[i-1][j-k] ,先不说这个复杂度，这个递推式是错的，因为物品无区别，1+2+1和1+1+2是一种划分，我们的递推式重复计数了。

再仔细思考下？

题目中是划分成不超过m组，那么划分方案分两种，j的i划分为（1）j的i-1划分+（2）j就分成i份。

第一个好表达，第二个怎么用dp表示呢？第一个是把i改变了，第二个应该改变j了，我减小j使得j减去一个数为第二个的数，因为分成i份，每份都大于0，我把每份都减去1后，可能还是i份，也可能小于i份了，他们的总和是j-i，这就是j-i的i划分啊！

最后，递推式为：

dp[i][j]=dp[i][j-i]+dp[i-1][j]

这样复杂度为O(mn)，代码也就好写了（注意循环中j小于i时递推式没有第二项）

2复杂计数问题

问题描述：有n种物品，第i种物品有ai个，不同的物品有区别，但相同物品没区别，问：从物品中取出m个，有多少种取法？

限制条件:1<=n,m,ai<=1000

举例：n=m=3，a={1,2,3}，输出6{0+0+3,0+1+2,0+2+1,1+0+2,1+1+1,1+2+0}

这个问题看着就复杂，上面就一种物品，这个这么多物品，我们举的简单的例子都要想一会儿才有答案。

因为同种物品没区别，所以我们只考虑取了几种物品就行，用dp[i][j]表示从前i种物品中取车j个的组合总数。

递推式怎样分析呢？

因为不同物品有差异，这次我们可以按照上面最初的想法：先从i-1种物品中取出j-k个，再吧第i种物品中的k个添加进来，k最多为a[i],但也不能比j还大。

所以递推式为：

，这个是正确的，但是k最差可能到m，所以复杂度为O(mn),能不能像上篇博文那样把k化简呢？试试。   

通过一系列的转化，最后把k消掉了，其中用的思想和上篇博文相同：先展开k，再缩小k。

3总结

用了两篇文章把最基础的动态规划问题分别相信解释了一下，主要是递推公式的推导，大家仔细琢磨一下就会发现，其实内在思路都是差不多的，当然动态规划还有很多很难的，例如状态压缩dp问题，以后再慢慢学习。