求N的阶乘约数的个数

先说基本定理:

若正整数n可分解为p1^a1*p1^a2*...*pk^ak

其中pi为两两不同的素数,ai为对应指数,则n的约数个数为(1+a1)*(1+a2)*....*(1+ak)
        如180=2*2*3*3*5=2^2*3^2*5
        180的约数个数为(1+2)*(1+2)*(1+1)=18个。

        若求A/B的约数个数,A可分解为p1^a1*p2^a2*...*pk^ak,B可分解为q1^b1*q1^b2*...*qk^bk,

        则A/B的约数个数 为(a1-b1+1)*(a2-b2+1)*(a3-b3+1)...*(ak-bk+1).

然后说N的阶乘:

例如:20!
1.先求出20以内的素数,(2,3,5,7,11,13,17,19)
2.再求各个素数的阶数
e(2)=[20/2]+[20/4]+[20/8]+[20/16]=18;
e(3)=[20/3]+[20/9]=8;
e(5)=[20/5]=4;
...
e(19)=[20/19]=1;
所以
20!=2^18*3^8*5^4*...*19^1

解释:
2、4、6、8、10、12、14、16、18、20能被2整除
4、8、12、16、20能被4整除(即被2除一次后还能被2整除)
8、16能被8整除(即被2除两次后还能被2整除)
16能被16整除(即被2除三次后还能被2整除)
这样就得到了2的阶。其它可以依次递推。

所以在求N的阶乘质数因数个数时,从最小的质数开始

int cal(int n, int p) { if(n < p) return 0; else return n / p + cal(n / p, p); } 

TOJ 2308就是一个这样的题,题目要求求出C(n,k)约数的个数,根据上面的公式,约数可以这样求:

while(cin>>n>>k){ if(2*k>n) k=n-k; for(i=1,m=1;prime[i]<=n,i<t;i++) m*=(cal(n,prime[i])-cal(k,prime[i])-cal(nk,prime[i])+1); printf("%d/n",m); } 

 

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