康拓展开

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康托展开

百科名片

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中，a为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)。这就是康托展开。康托展开可用代码实现。

目录

康托展开的公式

康托展开的应用实例

康托展开的代码实现

康托展开的逆运算

康托逆展开的代码实现

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康托展开的公式

把一个整数X展开成如下形式：

X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!

其中，a为整数，并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)

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康托展开的应用实例

{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

他们间的对应关系可由康托展开来找到。

如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：

第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。

再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

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康托展开的代码实现

后文的PASCAL程序经检验可以正确工作，并指示出了一个简洁的计算方法，和前文的运算思路略有不同，不需要检验某数码是否使用过，只需检查第(n+1-i)位之后比第(n+1-i)位小的位的数量，将这个数量作为公式中的a[i]。(1<=i<=n)

并附此算法C++版本。

康托展开的代码（C++语言）

unsigned long cantor(unsigned long S)

{

long x=0,i,p,k,j;

bool hash[8]={false};

for (i=8;i>=2;i--)

{

k=S>> 3*(i-1);

S-=k<<3*(i-1);

hash[k]=true;

p=k;

for (j=0;j<=k-1;j++)

if (hash[j])

p--;

x+=fac[i-1]*p;

}

return x;

}

康托展开的代码（Pascal语言）

s为数组，用来存储要求的数，形如(1,3,2,4)。

n为数组中元素个数。

fac[x]为x!

*function cantor:longint:;

*var

* i,j,temp:integer;

* num:longint;

*begin

* num:=0;

* for i:=1 to n-1 do

* begin

* temp:=0;

* for j:=i+1 to n do

* if s[j]<s[ i ] then inc(temp);

* num:=num+fac[n-i]*temp;

* end;

*cantor:=num+1;

*end;

康托展开的代码（C语言）

//参数int s[]为待展开之数的各位数字,如需展开2134,则s[4]={2,1,3,4}.long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//阶层表

long cantor(int s[],int n)

{

long int i,j,temp,num;

num=0;

for(i=0;i<n;i++){

temp=0;

for(int j=i+1;j<n;j++){

if (s[j]<s[i]) temp++;//判断几个数小于其

}

num+=fac[n-i-1]*temp;//(或num=num+fac[n-i-1]*temp;)

}

return (num+1);

}

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康托展开的逆运算

例1 {1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕

(1)找出第96个数

首先用96-1得到95

用95去除4! 得到3余23

用23去除3! 得到3余5

用5去除2!得到2余1

用1去除1!得到1余0有3个数比它小的数是4

所以第一位是4

有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以是5（因为4在之前出现过了所以实际比5小的数是3个）

有2个数比它小的数是3

有1个数比它小的数是2

最后一个数只能是1

所以这个数是45321

(2)找出第16个数

首先用16-1得到15

用15去除4!得到0余15

用15去除3!得到2余3

用3去除2!得到1余1

用1去除1!得到1余0

有0个数比它小的数是1

有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4（因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2）

有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3（因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1）

有1个数比它小得数是2 但由于1，3，4已经在之前出现过了所以是5（因为1，3，4在之前出现过了所以实际比5小的数是1）

最后一个数只能是2

所以这个数是14352

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康托逆展开的代码实现

康托展开的代码（C语言）

long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};

int hash[10]={0};

int cantor(int m,int n)

{

long int num=0,e;

int temp;

int i,j;int k;

int xp;

m=m-1;

for(i=n-1;i>0;i--)

{

temp=0;e=1;

xp=m/fac[i];

m=m%fac[i];

for(j=1;j<=xp+1;j++)

if(hash[j]!=0)

temp++;

if(hash[temp+xp+1]!=0)

for(j=temp+xp+2;j<=n;j++)

{

temp++;

if(hash[j]==0)

break;

}

for(j=1;j<=i;j++)

e*=10;

num+=(temp+xp+1)*e;

hash[temp+xp+1]=1;

for(k=1;k<=n;k++)

printf("%d ",hash[k]);

printf("/n");

}

temp=0;

for(i=1;i<=m+1;i++)

if(hash[i]!=0)

temp++;

hash[temp+m+1]=1;

num+=temp+m+1;

return(num);

}

int main()

{

printf("%ld/n",cantor(96,5));

system("pause");

return 0;

}

 

hdu 1027

没想到stl连这个都有，服了呀；

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int a[1005];
int main()
{
int n,m,i;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
for(i=0;i<=n;i++)
a[i]=n-i;

for(i=0;i<m-1;i++)  //只要m-1次就好了
prev_permutation(a,a+n);

for(i=0;i<n;i++)
printf(i==0?"%d":" %d",a[i]);

printf("/n");
}
return 0;
}

其中next_permutation是排列函数，求比他打一个的排列
而prev_permutation则刚好相反

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

bool hash[1001];
int tmp;

int main(){
    int n,m,i;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        memset(hash,0,sizeof(hash));
        i=1;
        if(n>9){
            for(; i<n-7; ++i){
                hash[i]=1;
                printf("%d ",i);
            }
        }
//        cout<<endl;
        int rem=n-i+1;
//        cout<<"rem is "<<rem<<endl;
        int c=1;
        for(int ii=1; ii<=rem; ++ii)
            c*=ii;
//        cout<<"c is "<<c<<endl;
        while(c!=1){
            tmp=0;
            c/=rem--;
//            cout<<"c is "<<c<<endl;
//            cout<<"m is "<<m<<endl;
            if(m>=c){
                tmp=(m-1)/c;
                m=m-tmp*c;
            }
        //    cout<<"tmp is"<<tmp<<endl;
        //    cout<<"C is"<<c<<endl;
            int cnt=-1;
            int jj;
            //cout<<"YYY"<<endl;
            //cout<<i<<endl;
            for(jj=i; jj<=n; ++jj){
                if(!hash[jj])
                    ++cnt;
                if(cnt==tmp){
                    hash[jj]=1;
                    break;
                }
            }
            printf("%d ",jj);
        }
        for(int k=i; k<=n; ++k)
            if(!hash[k]){
                printf("%d/n",k);
                break;
            }
        fflush(stdout);
    }
}