组合数学——Nim取子游戏

组合数学——Nim取子游戏

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Nim取子游戏是由两个人面对若干堆硬币（或石子）进行的游戏。设有k>=1堆硬币，各堆分别含有N ₁，N ₂，……N _K枚硬币。游戏的目的就是选择最后剩下的硬币。游戏法则如下：

1．两个游戏人交替进行游戏（游戏人I和游戏人II）；

2．当轮到每个游戏人取子时，选择这些堆中的一堆，并从所选的堆中取走至少一枚硬币（游戏人可以取走他所选堆中的全部硬币）；

3．当所有的堆都变成空堆时，最后取子的游戏人即为胜者。

这个游戏中的变量是堆数k和各堆的硬币数N ₁，N ₂，……N _k。对应的组合问题是，确定游戏人I获胜还是游戏人II获胜以及两个游戏人应该如何取子才能保证自己获胜（获胜策略）。

为了进一步理解Nim取子游戏，我们考查某些特殊情况。如果游戏开始时只有一堆硬币，游戏人I则通过取走所有的硬币而获胜。现在设有2堆硬币，且硬币数量分别为N ₁和N ₂。游戏人取得胜利并不在于N1和N2的值具体是多少，而是取决于它们是否相等。设N ₁！=N ₂，游戏人I从大堆中取走的硬币使得两堆硬币数量相等，于是，游戏人I以后每次取子的数量与游戏人II相等而最终获胜。但是如果N ₁= N ₂，则：游戏人II只要按着游戏人I取子的数量在另一堆中取相等数量的硬币，最终获胜者将会是游戏人II。这样，两堆的取子获胜策略就已经找到了。

现在我们如何从两堆的取子策略扩展到任意堆数中呢？

首先来回忆一下，每个正整数都有对应的一个二进制数，例如：57 ₍₁₀₎  à 111001 ₍₂₎ ，即：57 ₍₁₀₎=2 ⁵+2 ⁴+2 ³+2 ⁰。于是，我们可以认为每一堆硬币数由2的幂数的子堆组成。这样，含有57枚硬币大堆就能看成是分别由数量为2 ⁵、2 ⁴、2 ³、2 ⁰的各个子堆组成。

现在考虑各大堆大小分别为N ₁，N ₂，……N _k的一般的Nim取子游戏。将每一个数N _i表示为其二进制数（数的位数相等，不等时在前面补0）：

N ₁ = a _s…a ₁a ₀

N ₂ = b _s…b ₁b ₀

……

 N _k = m _s…m ₁m ₀

如果每一种大小的子堆的个数都是偶数，我们就称Nim取子游戏是平衡的，而对应位相加是偶数的称为平衡位，否则称为非平衡位。因此，Nim取子游戏是平衡的，当且仅当：

a_s + b_s + … + m_s 是偶数

……

a₁ + b₁ + … + m₁ 是偶数

a₀ + b₀ + … + m₀是偶数

于是，我们就能得出获胜策略：

游戏人I能够在非平衡取子游戏中取胜，而游戏人II能够在平衡的取子游戏中取胜。

我们以一个两堆硬币的Nim取子游戏作为试验。设游戏开始时游戏处于非平衡状态。这样，游戏人I就能通过一种取子方式使得他取子后留给游戏人II的是一个平衡状态下的游戏，接着无论游戏人II如何取子，再留给游戏人I的一定是一个非平衡状态游戏，如此反复进行，当游戏人II在最后一次平衡状态下取子后，游戏人I便能一次性取走所有的硬币而获胜。而如果游戏开始时游戏牌平衡状态，那根据上述方式取子，最终游戏人II能获胜。

下面应用此获胜策略来考虑4-堆的Nim取子游戏。其中各堆的大小分别为7，9，12，15枚硬币。用二进制表示各数分别为：0111，1001，1100和1111。于是可得到如下一表：

	23 = 8	22 = 4	21 = 2	20 = 1
大小为7的堆	0	1	1	1
大小为9的堆	1	0	0	1
大小为12的堆	1	1	0	0
大小为15的堆	1	1	1	1

由Nim取子游戏的平衡条件可知，此游戏是一个非平衡状态的取子游戏，因此，游戏人I在按获胜策略进行取子游戏下将一定能够取得最终的胜利。具体做法有多种，游戏人I可以从大小为12的堆中取走11枚硬币，使得游戏达到平衡（如下表），

	23 = 8	22 = 4	21 = 2	20 = 1
大小为7的堆	0	1	1	1
大小为9的堆	1	0	0	1
大小为12的堆	0	0	0	1
大小为15的堆	1	1	1	1

之后，无论游戏人II如何取子，游戏人I在取子后仍使得游戏达到平衡。

同样的道理，游戏人I也可以选择大小为9的堆并取走5枚硬币而剩下4枚，或者，游戏人I从大小为15的堆中取走13枚而留下2枚。

归根结底，Nim取子游戏的关键在于游戏开始时游戏处于何种状态（平衡或非平衡）和第一个游戏人是否能够按照取子游戏的获胜策略来进行游戏。