计算几何 作编程参考

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计算几何

目录  
㈠   点的基本运算  
1.  平面上两点之间距离  1 
2.  判断两点是否重合  1 
3.  矢量叉乘  1 
4.  矢量点乘  2 
5.  判断点是否在线段上  2 
6.  求一点饶某点旋转后的坐标  2 
7.  求矢量夹角  2 

㈡   线段及直线的基本运算  
1.  点与线段的关系  3 
2.  求点到线段所在直线垂线的垂足  4 
3.  点到线段的最近点  4 
4.  点到线段所在直线的距离  4 
5.  点到折线集的最近距离  4 
6.  判断圆是否在多边形内  5 
7.  求矢量夹角余弦  5 
8.  求线段之间的夹角  5 
9.  判断线段是否相交  6 
10. 判断线段是否相交但不交在端点处  6 
11. 求线段所在直线的方程  6 
12. 求直线的斜率  7 
13. 求直线的倾斜角  7 
14. 求点关于某直线的对称点  7 
15. 判断两条直线是否相交及求直线交点  7 
16. 判断线段是否相交，如果相交返回交点  7 

㈢   多边形常用算法模块  
1.  判断多边形是否简单多边形  8 
2.  检查多边形顶点的凸凹性  9 
3.  判断多边形是否凸多边形  9 
4.  求多边形面积  9 
5.  判断多边形顶点的排列方向，方法一  10 
6.  判断多边形顶点的排列方向，方法二  10 
7.  射线法判断点是否在多边形内  10 
8.  判断点是否在凸多边形内  11 
9.  寻找点集的 graham 算法  12 
10. 寻找点集凸包的卷包裹法  13 
11. 判断线段是否在多边形内  14 
12. 求简单多边形的重心  15 
13. 求凸多边形的重心  17 
14. 求肯定在给定多边形内的一个点  17 
15. 求从多边形外一点出发到该多边形的切线  18 
16. 判断多边形的核是否存在  19 

㈣   圆的基本运算  
1 . 点是否在圆内  20 
2 . 求不共线的三点所确定的圆  21 

㈤   矩形的基本运算  
1. 已知矩形三点坐标，求第 4 点坐标  22 

㈥   常用算法的描述  22 

㈦   补充  
1 ．两圆关系：  24 
2 ．判断圆是否在矩形内：  24 
3 ．点到平面的距离：  25 
4 ．点是否在直线同侧：  25 
5 ．镜面反射线：  25 
6 ．矩形包含：  26 
7 ．两圆交点：  27 
8 ．两圆公共面积：  28 
9.  圆和直线关系：  29 
10.  内切圆：  30 
11.  求切点：  31 
12.  线段的左右旋：  31 
13 ．公式：  32 
*/
/*  需要包含的头文件  */  
#include <cmath > 

/*  常用的常量定义  */  
const   double  INF  = 1E200    
const   double  EP  = 1E- 10  
const   int   MAXV =  300  
const   double  PI  =  3.14159265  

/*  基本几何结构  */  
struct  POINT 
{ 
  double  x; 
  double  y; 
 POINT( double  a= 0 ,  double  b= 0 ) { x=a; y=b;}  //constructor 
}; 
struct  LINESEG 
{ 
 POINT s; 
 POINT e; 
 LINESEG(POINT a, POINT b) { s=a; e=b;} 
 LINESEG() { } 
}; 
struct  LINE            //  直线的解析方程  a*x+b*y+c=0   为统一表示，约定  a >= 0 
{ 
    double  a; 
    double  b; 
    double  c; 
   LINE( double  d1= 1 ,  double  d2=- 1 ,  double  d3= 0 ) {a=d1; b=d2; c=d3;} 
}; 

/**********************
 *                    * 
 *    点的基本运算      * 
 *                    * 
 **********************/  

double  dist(POINT p1,POINT p2)                 //  返回两点之间欧氏距离  
{ 
  return ( sqrt( (p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y) ) ); 
} 
bool  equal_point(POINT p1,POINT p2)            //  判断两个点是否重合   
{ 
  return  ( (abs(p1.x-p2.x)<EP)&&(abs(p1.y-p2.y)<EP) ); 
} 
/****************************************************************************** 
r=multiply(sp,ep,op), 得到 (sp-op) 和 (ep-op) 的叉积  
r>0 ： ep 在矢量 opsp 的逆时针方向；  
r=0 ： opspep 三点共线；  
r<0 ： ep 在矢量 opsp 的顺时针方向  
*******************************************************************************/  
double  multiply(POINT sp,POINT ep,POINT op) 
{ 
  return ((sp.x-op.x)*(ep.y-op.y)-(ep.x-op.x)*(sp.y-op.y)); 
} 
/* 
r=dotmultiply(p1,p2,op), 得到矢量 (p1-op) 和 (p2-op) 的点积，如果两个矢量都非零矢量  
r<0 ：两矢量夹角为钝角；
r=0 ：两矢量夹角为直角；
r>0 ：两矢量夹角为锐角  
*******************************************************************************/  
double  dotmultiply(POINT p1,POINT p2,POINT p0) 
{ 
  return  ((p1.x-p0.x)*(p2.x-p0.x)+(p1.y-p0.y)*(p2.y-p0.y)); 
} 
/****************************************************************************** 
判断点 p 是否在线段 l 上
条件： (p 在线段 l 所在的直线上 ) && ( 点 p 在以线段 l 为对角线的矩形内 )
*******************************************************************************/  
bool  online(LINESEG l,POINT p) 
{ 
  return ( (multiply(l.e,p,l.s)== 0 ) &&( ( (p.x-l.s.x)*(p.x-l.e.x)<= 0  )&&( (p.y-l.s.y)*(p.y-l.e.y)<= 0  ) ) ); 
} 
//  返回点 p 以点 o 为圆心逆时针旋转 alpha( 单位：弧度 ) 后所在的位置  
POINT rotate(POINT o, double  alpha,POINT p) 
{ 
 POINT tp; 
 p.x-=o.x; 
 p.y-=o.y; 
 tp.x=p.x*cos(alpha)-p.y*sin(alpha)+o.x; 
 tp.y=p.y*cos(alpha)+p.x*sin(alpha)+o.y; 
  return  tp; 
} 
/*  返回顶角在 o 点，起始边为 os ，终止边为 oe 的夹角 ( 单位：弧度 ) 
  角度小于 pi ，返回正值  
  角度大于 pi ，返回负值  
  可以用于求线段之间的夹角  
原理：
 r = dotmultiply(s,e,o) / (dist(o,s)*dist(o,e))
 r'= multiply(s,e,o)

 r >= 1 angle = 0;
 r <= -1 angle = -PI
 -1<r<1 && r'>0 angle = arccos(r)
 -1<r<1 && r'<=0 angle = -arccos(r)
*/  
double  angle(POINT o,POINT s,POINT e) 
{ 
  double  cosfi,fi,norm; 
  double  dsx = s.x - o.x; 
  double  dsy = s.y - o.y; 
  double  dex = e.x - o.x; 
  double  dey = e.y - o.y; 

 cosfi=dsx*dex+dsy*dey; 
 norm=(dsx*dsx+dsy*dsy)*(dex*dex+dey*dey); 
 cosfi /= sqrt( norm ); 

  if  (cosfi >=   1.0  )  return   0 ; 
  if  (cosfi <= - 1.0  )  return  - 3.1415926 ; 

 fi=acos(cosfi); 
  if  (dsx*dey-dsy*dex> 0 )  return  fi;       //  说明矢量 os  在矢量  oe 的顺时针方向  
  return  -fi; 
} 
   /*****************************\ 
  *                             * 
  *       线段及直线的基本运算    * 
  *                             * 
  \*****************************/  

/*  判断点与线段的关系 , 用途很广泛  
本函数是根据下面的公式写的， P 是点 C 到线段 AB 所在直线的垂足  

                AC dot AB 
        r =     --------- 
                 ||AB||^2 
             (Cx-Ax)(Bx-Ax) + (Cy-Ay)(By-Ay) 
          = ------------------------------- 
                          L^2 

    r has the following meaning: 

        r=0      P = A 
        r=1      P = B 
        r<0   P is on the backward extension of AB 
  r>1      P is on the forward extension of AB 
        0<r<1  P is interior to AB 
*/  
double  relation(POINT p,LINESEG l) 
{ 
 LINESEG tl; 
 tl.s=l.s; 
 tl.e=p; 
  return  dotmultiply(tl.e,l.e,l.s)/(dist(l.s,l.e)*dist(l.s,l.e)); 
} 
//  求点 C 到线段 AB 所在直线的垂足  P 
POINT perpendicular(POINT p,LINESEG l) 
{ 
  double  r=relation(p,l); 
 POINT tp; 
 tp.x=l.s.x+r*(l.e.x-l.s.x); 
 tp.y=l.s.y+r*(l.e.y-l.s.y); 
  return  tp; 
} 
/*  求点 p 到线段 l 的最短距离 , 并返回线段上距该点最近的点 np 
注意： np 是线段 l 上到点 p 最近的点，不一定是垂足  */  
double  ptolinesegdist(POINT p,LINESEG l,POINT &np) 
{ 
  double  r=relation(p,l); 
  if (r< 0 ) 
 { 
  np=l.s; 
   return  dist(p,l.s); 
 } 
  if (r> 1 ) 
 { 
  np=l.e; 
   return  dist(p,l.e); 
 } 
 np=perpendicular(p,l); 
  return  dist(p,np); 
} 
//  求点 p 到线段 l 所在直线的距离 , 请注意本函数与上个函数的区别   
double  ptoldist(POINT p,LINESEG l) 
{ 
  return  abs(multiply(p,l.e,l.s))/dist(l.s,l.e); 
} 
/*  计算点到折线集的最近距离 , 并返回最近点 . 
注意：调用的是 ptolineseg() 函数  */  
double  ptopointset( int  vcount,POINT pointset[],POINT p,POINT &q) 
{ 
  int  i; 
  double  cd= double (INF),td; 
 LINESEG l; 
 POINT tq,cq; 

  for (i= 0 ;i<vcount- 1 ;i++) 
 { 
  l.s=pointset[i]; 

  l.e=pointset[i+ 1 ]; 
  td=ptolinesegdist(p,l,tq); 
   if (td<cd) 
  { 
   cd=td; 
   cq=tq; 
  } 
 } 
 q=cq; 
  return  cd; 
} 
/*  判断圆是否在多边形内 .ptolineseg() 函数的应用 2 */  
bool  CircleInsidePolygon( int  vcount,POINT center, double  radius,POINT polygon[]) 
{ 
 POINT q; 
  double  d; 
 q.x= 0 ; 
 q.y= 0 ; 
 d=ptopointset(vcount,polygon,center,q); 
  if (d<radius||fabs(d-radius)<EP) 
   return   true ; 
  else  
   return   false ; 
} 
/*  返回两个矢量 l1 和 l2 的夹角的余弦 (-1 --- 1) 注意：如果想从余弦求夹角的话，注意反余弦函数的定义域是从  0 到 pi */  
double  cosine(LINESEG l1,LINESEG l2) 
{ 
  return  (((l1.e.x-l1.s.x)*(l2.e.x-l2.s.x) + 
 (l1.e.y-l1.s.y)*(l2.e.y-l2.s.y))/(dist(l1.e,l1.s)*dist(l2.e,l2.s))) ); 
} 
//  返回线段 l1 与 l2 之间的夹角   单位：弧度   范围 (-pi ， pi) 
double  lsangle(LINESEG l1,LINESEG l2) 
{ 
 POINT o,s,e; 
 o.x=o.y= 0 ; 
 s.x=l1.e.x-l1.s.x; 
 s.y=l1.e.y-l1.s.y; 
 e.x=l2.e.x-l2.s.x; 
 e.y=l2.e.y-l2.s.y; 
  return  angle(o,s,e); 
}  
//  如果线段 u 和 v 相交 ( 包括相交在端点处 ) 时，返回 true 
//
// 判断 P1P2 跨立 Q1Q2 的依据是： ( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) >= 0 。
// 判断 Q1Q2 跨立 P1P2 的依据是： ( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 ) * ( P2 - P1 ) × ( Q2 - P1 ) >= 0 。
bool  intersect(LINESEG u,LINESEG v) 
{ 
  return ( (max(u.s.x,u.e.x)>=min(v.s.x,v.e.x))&&                      // 排斥实验  
   (max(v.s.x,v.e.x)>=min(u.s.x,u.e.x))&& 
   (max(u.s.y,u.e.y)>=min(v.s.y,v.e.y))&& 
   (max(v.s.y,v.e.y)>=min(u.s.y,u.e.y))&& 
   (multiply(v.s,u.e,u.s)*multiply(u.e,v.e,u.s)>= 0 )&&          // 跨立实验  
   (multiply(u.s,v.e,v.s)*multiply(v.e,u.e,v.s)>= 0 )); 
} 
//  ( 线段 u 和 v 相交 )&&( 交点不是双方的端点 )  时返回 true    
bool  intersect_A(LINESEG u,LINESEG v) 
{ 
  return  ((intersect(u,v))&& 
   (!online(u,v.s))&& 
   (!online(u,v.e))&& 
   (!online(v,u.e))&& 
   (!online(v,u.s))); 
} 
//  线段 v 所在直线与线段 u 相交时返回 true ；方法：判断线段 u 是否跨立线段 v  
bool  intersect_l(LINESEG u,LINESEG v) 
{ 
  return  multiply(u.s,v.e,v.s)*multiply(v.e,u.e,v.s)>= 0 ; 
} 
//  根据已知两点坐标，求过这两点的直线解析方程：  a*x+b*y+c = 0  (a >= 0)  
LINE makeline(POINT p1,POINT p2) 
{ 
 LINE tl; 
  int  sign =  1 ; 
 tl.a=p2.y-p1.y; 
  if (tl.a< 0 ) 
 { 
  sign = - 1 ; 
  tl.a=sign*tl.a; 
 } 
 tl.b=sign*(p1.x-p2.x); 
 tl.c=sign*(p1.y*p2.x-p1.x*p2.y); 
  return  tl; 
} 
//  根据直线解析方程返回直线的斜率 k, 水平线返回  0, 竖直线返回  1e200 
double  slope(LINE l) 
{ 
  if (abs(l.a) < 1e- 20 )
   return   0 ; 
  if (abs(l.b) < 1e- 20 )
   return  INF; 
  return  -(l.a/l.b); 
} 
//  返回直线的倾斜角 alpha ( 0 - pi) 
double  alpha(LINE l) 
{ 
  if (abs(l.a)< EP)
   return   0 ; 
  if (abs(l.b)< EP)
   return  PI/ 2 ; 
  double  k=slope(l); 
  if (k> 0 ) 
   return  atan(k); 
  else  
   return  PI+atan(k); 
} 
//  求点 p 关于直线 l 的对称点   
POINT symmetry(LINE l,POINT p) 
{ 
   POINT tp; 
   tp.x=((l.b*l.b-l.a*l.a)*p.x- 2 *l.a*l.b*p.y- 2 *l.a*l.c)/(l.a*l.a+l.b*l.b); 
   tp.y=((l.a*l.a-l.b*l.b)*p.y- 2 *l.a*l.b*p.x- 2 *l.b*l.c)/(l.a*l.a+l.b*l.b); 
    return  tp; 
} 
//  如果两条直线  l1(a1*x+b1*y+c1 = 0), l2(a2*x+b2*y+c2 = 0) 相交，返回 true ，且返回交点 p  
bool  lineintersect(LINE l1,LINE l2,POINT &p)  //  是  L1 ， L2 
{ 
  double  d=l1.a*l2.b-l2.a*l1.b; 
  if (abs(d)<EP)  //  不相交  
   return   false ; 
 p.x = (l2.c*l1.b-l1.c*l2.b)/d; 
 p.y = (l2.a*l1.c-l1.a*l2.c)/d; 
  return   true ; 
} 
//  如果线段 l1 和 l2 相交，返回 true 且交点由 (inter) 返回，否则返回 false 
bool  intersection(LINESEG l1,LINESEG l2,POINT &inter) 
{ 
 LINE ll1,ll2; 
 ll1=makeline(l1.s,l1.e); 
 ll2=makeline(l2.s,l2.e); 
  if (lineintersect(ll1,ll2,inter)) 
   return online(l1,inter) && online(l2,inter); 
    else  
   return   false ; 
} 

/******************************\ 
*         * 
*  多边形常用算法模块     * 
*         * 
\******************************/  

//  如果无特别说明，输入多边形顶点要求按逆时针排列  

/* 
返回值：输入的多边形是简单多边形，返回 true 
要   求：输入顶点序列按逆时针排序  
说   明：简单多边形定义：  
1 ：循环排序中相邻线段对的交是他们之间共有的单个点  
2 ：不相邻的线段不相交  
本程序默认第一个条件已经满足  
*/  
bool  issimple( int  vcount,POINT polygon[]) 
{ 
  int  i,cn; 
 LINESEG l1,l2; 
  for (i= 0 ;i<vcount;i++) 
 { 
  l1.s=polygon[i]; 
  l1.e=polygon[(i+ 1 )%vcount]; 
  cn=vcount- 3 ; 
   while (cn) 
  { 
   l2.s=polygon[(i+ 2 )%vcount]; 
   l2.e=polygon[(i+ 3 )%vcount]; 
    if (intersect(l1,l2)) 
     break ; 
   cn--; 
  } 
   if (cn) 
    return   false ; 
 } 
  return   true ; 
} 
//  返回值：按输入顺序返回多边形顶点的凸凹性判断， bc[i]=1,iff: 第 i 个顶点是凸顶点  
void  checkconvex( int  vcount,POINT polygon[], bool  bc[]) 
{ 
  int  i,index= 0 ; 
 POINT tp=polygon[ 0 ]; 
  for (i= 1 ;i<vcount;i++)  //  寻找第一个凸顶点  
 { 
   if (polygon[i].y<tp.y||(polygon[i].y == tp.y&&polygon[i].x<tp.x)) 
  { 
   tp=polygon[i]; 
   index=i; 
  } 
 } 
  int  count=vcount- 1 ; 
 bc[index]= 1 ; 
  while (count)  //  判断凸凹性  
 { 
   if (multiply(polygon[(index+ 1 )%vcount],polygon[(index+ 2 )%vcount],polygon[index])>= 0  ) 
   bc[(index+ 1 )%vcount]= 1 ; 
   else  
   bc[(index+ 1 )%vcount]= 0 ; 
  index++; 
  count--; 
 } 
}
//  返回值：多边形 polygon 是凸多边形时，返回 true  
bool  isconvex( int  vcount,POINT polygon[]) 
{ 
  bool  bc[MAXV]; 
 checkconvex(vcount,polygon,bc); 
  for ( int  i= 0 ;i<vcount;i++)  //  逐一检查顶点，是否全部是凸顶点  
   if (!bc[i]) 
    return   false ; 
  return   true ; 
} 
//  返回多边形面积 (signed) ；输入顶点按逆时针排列时，返回正值；否则返回负值  
double  area_of_polygon( int  vcount,POINT polygon[]) 
{ 
  int  i; 
  double  s; 
  if  (vcount< 3 ) 
   return   0 ; 
 s=polygon[ 0 ].y*(polygon[vcount- 1 ].x-polygon[ 1 ].x); 
  for  (i= 1 ;i<vcount;i++) 
  s+=polygon[i].y*(polygon[(i- 1 )].x-polygon[(i+ 1 )%vcount].x); 
  return  s/ 2 ; 
} 
//  如果输入顶点按逆时针排列，返回 true 
bool  isconterclock( int  vcount,POINT polygon[]) 
{ 
  return  area_of_polygon(vcount,polygon)> 0 ; 
} 
//  另一种判断多边形顶点排列方向的方法   
bool  isccwize( int  vcount,POINT polygon[]) 
{ 
  int  i,index; 
 POINT a,b,v; 
 v=polygon[ 0 ]; 
 index= 0 ; 
  for (i= 1 ;i<vcount;i++)  //  找到最低且最左顶点，肯定是凸顶点  
 { 
   if (polygon[i].y<v.y||polygon[i].y == v.y && polygon[i].x<v.x) 
  { 
   index=i; 
  } 
 } 
 a=polygon[(index- 1 +vcount)%vcount];  //  顶点 v 的前一顶点  
 b=polygon[(index+ 1 )%vcount];  //  顶点 v 的后一顶点  
  return  multiply(v,b,a)> 0 ; 
} 
/********************************************************************************************   
射线法判断点 q 与多边形 polygon 的位置关系，要求 polygon 为简单多边形，顶点逆时针排列  
    如果点在多边形内：     返回 0 
    如果点在多边形边上：   返回 1 
    如果点在多边形外：   返回 2 
*********************************************************************************************/  
int  insidepolygon( int  vcount,POINT Polygon[],POINT q) 
{ 
  int  c= 0 ,i,n; 
 LINESEG l1,l2; 
  bool  bintersect_a,bonline1,bonline2,bonline3; 
  double  r1,r2; 

 l1.s=q; 
 l1.e=q; 
 l1.e.x= double (INF); 
 n=vcount; 
  for  (i= 0 ;i<vcount;i++) 
 { 
  l2.s=Polygon[i]; 
  l2.e=Polygon[(i+ 1 )%n]; 
   if (online(l2,q))
    return   1 ;  //  如果点在边上，返回 1 
   if  ( (bintersect_a=intersect_A(l1,l2))||  //  相交且不在端点  
  ( (bonline1=online(l1,Polygon[(i+ 1 )%n]))&&  //  第二个端点在射线上  
  ( (!(bonline2=online(l1,Polygon[(i+ 2 )%n])))&&  /*  前一个端点和后一个端点在射线两侧  */  
  ((r1=multiply(Polygon[i],Polygon[(i+ 1 )%n],l1.s)*multiply(Polygon[(i+ 1 )%n],Polygon[(i+ 2 )%n],l1.s))> 0 ) ||    
  (bonline3=online(l1,Polygon[(i+ 2 )%n]))&&      /*  下一条边是水平线，前一个端点和后一个端点在射线两侧   */  
   ((r2=multiply(Polygon[i],Polygon[(i+ 2 )%n],l1.s)*multiply(Polygon[(i+ 2 )%n], 
  Polygon[(i+ 3 )%n],l1.s))> 0 ) 
    ) 
   ) 
  ) c++; 
 } 
  if (c% 2  ==  1 ) 
   return   0 ; 
  else  
   return   2 ; 
} 
// 点 q 是凸多边形 polygon 内时，返回 true ；注意：多边形 polygon 一定要是凸多边形   
bool  InsideConvexPolygon( int  vcount,POINT polygon[],POINT q)  //  可用于三角形！  
{ 
 POINT p; 
 LINESEG l; 
  int  i; 
 p.x= 0 ;p.y= 0 ; 
  for (i= 0 ;i<vcount;i++)  //  寻找一个肯定在多边形 polygon 内的点 p ：多边形顶点平均值  
 { 
  p.x+=polygon[i].x; 
  p.y+=polygon[i].y; 
 } 
 p.x /= vcount; 
 p.y /= vcount; 

  for (i= 0 ;i<vcount;i++) 
 { 
  l.s=polygon[i];l.e=polygon[(i+ 1 )%vcount]; 
   if (multiply(p,l.e,l.s)*multiply(q,l.e,l.s)< 0 )  /*  点 p 和点 q 在边 l 的两侧，说明点 q 肯定在多边形外  */  
   break ; 
 } 
  return  (i==vcount); 
} 
/********************************************** 
寻找凸包的 graham  扫描法  
PointSet 为输入的点集；  
ch 为输出的凸包上的点集，按照逆时针方向排列 ; 
n 为 PointSet 中的点的数目  
len 为输出的凸包上的点的个数  
**********************************************/  
void  Graham_scan(POINT PointSet[],POINT ch[], int  n, int  &len) 
{ 
  int  i,j,k= 0 ,top= 2 ; 
 POINT tmp; 
  //  选取 PointSet 中 y 坐标最小的点 PointSet[k] ，如果这样的点有多个，则取最左边的一个  
  for (i= 1 ;i<n;i++) 
   if  ( PointSet[i].y<PointSet[k].y || (PointSet[i].y==PointSet[k].y) && (PointSet[i].x<PointSet[k].x) ) 
   k=i; 
 tmp=PointSet[ 0 ]; 
 PointSet[ 0 ]=PointSet[k]; 
 PointSet[k]=tmp;  //  现在 PointSet 中 y 坐标最小的点在 PointSet[0] 
  for  (i= 1 ;i<n- 1 ;i++)  /*  对顶点按照相对 PointSet[0] 的极角从小到大进行排序，极角相同的按照距离 PointSet[0] 从近到远进行排序  */  
 { 
  k=i; 
   for  (j=i+ 1 ;j<n;j++) 
    if  ( multiply(PointSet[j],PointSet[k],PointSet[ 0 ])> 0  ||   //  极角更小     
    (multiply(PointSet[j],PointSet[k],PointSet[ 0 ])== 0 ) &&  /*  极角相等，距离更短  */         
    dist(PointSet[ 0 ],PointSet[j])<dist(PointSet[ 0 ],PointSet[k])
      ) 
    k=j; 
  tmp=PointSet[i]; 
  PointSet[i]=PointSet[k]; 
  PointSet[k]=tmp; 
 } 
 ch[ 0 ]=PointSet[ 0 ]; 
 ch[ 1 ]=PointSet[ 1 ]; 
 ch[ 2 ]=PointSet[ 2 ]; 
  for  (i= 3 ;i<n;i++) 
 { 
   while  (multiply(PointSet[i],ch[top],ch[top- 1 ])>= 0 ) 
   top--; 
  ch[++top]=PointSet[i]; 
 } 
 len=top+ 1 ; 
} 
//  卷包裹法求点集凸壳，参数说明同 graham 算法     
void  ConvexClosure(POINT PointSet[],POINT ch[], int  n, int  &len) 
{ 
  int  top= 0 ,i,index,first; 
  double  curmax,curcos,curdis; 
 POINT tmp; 
 LINESEG l1,l2; 
  bool  use[MAXV]; 
 tmp=PointSet[ 0 ]; 
 index= 0 ; 
  //  选取 y 最小点，如果多于一个，则选取最左点  
  for (i= 1 ;i<n;i++) 
 { 
   if (PointSet[i].y<tmp.y||PointSet[i].y == tmp.y&&PointSet[i].x<tmp.x) 
  { 
   index=i; 
  } 
  use[i]= false ; 
 } 
 tmp=PointSet[index]; 
 first=index; 
 use[index]= true ; 

 index=- 1 ; 
 ch[top++]=tmp; 
 tmp.x-= 100 ; 
 l1.s=tmp; 
 l1.e=ch[ 0 ]; 
 l2.s=ch[ 0 ]; 

  while (index!=first) 
 { 
  curmax=- 100 ; 
  curdis= 0 ; 
   //  选取与最后一条确定边夹角最小的点，即余弦值最大者  
   for (i= 0 ;i<n;i++) 
  { 
    if (use[i]) continue ; 
   l2.e=PointSet[i]; 
   curcos=cosine(l1,l2);  //  根据 cos 值求夹角余弦，范围在   （ -1 -- 1  ）  
    if (curcos>curmax || fabs(curcos-curmax)<1e- 6  && dist(l2.s,l2.e)>curdis) 
   { 
    curmax=curcos; 
    index=i; 
    curdis=dist(l2.s,l2.e); 
   } 
  } 
  use[first]= false ;             // 清空第 first 个顶点标志，使最后能形成封闭的 hull 
  use[index]= true ; 
  ch[top++]=PointSet[index]; 
  l1.s=ch[top- 2 ]; 
  l1.e=ch[top- 1 ]; 
  l2.s=ch[top- 1 ]; 
 } 
 len=top- 1 ; 
} 
/*********************************************************************************************  
  判断线段是否在简单多边形内 ( 注意：如果多边形是凸多边形，下面的算法可以化简 ) 
     必要条件一：线段的两个端点都在多边形内；  
  必要条件二：线段和多边形的所有边都不内交；  
  用途：  1.  判断折线是否在简单多边形内  
   2.  判断简单多边形是否在另一个简单多边形内  
**********************************************************************************************/  
bool  LinesegInsidePolygon( int  vcount,POINT polygon[],LINESEG l) 
{ 
  //  判断线端 l 的端点是否不都在多边形内  
  if (!insidepolygon(vcount,polygon,l.s)||!insidepolygon(vcount,polygon,l.e)) 
   return   false ; 
  int  top= 0 ,i,j; 
 POINT PointSet[MAXV],tmp; 
 LINESEG s; 

  for (i= 0 ;i<vcount;i++) 
 { 
  s.s=polygon[i]; 
  s.e=polygon[(i+ 1 )%vcount]; 
   if (online(s,l.s))  // 线段 l 的起始端点在线段 s 上  
   PointSet[top++]=l.s; 
   else   if (online(s,l.e))  // 线段 l 的终止端点在线段 s 上  
   PointSet[top++]=l.e; 
   else  
  { 
    if (online(l,s.s))  // 线段 s 的起始端点在线段 l 上  
    PointSet[top++]=s.s; 
    else   if (online(l,s.e))  //  线段 s 的终止端点在线段 l 上  
    PointSet[top++]=s.e; 
    else  
   { 
     if (intersect(l,s))  //  这个时候如果相交，肯定是内交，返回 false 
     return   false ; 
   } 
  } 
 } 

  for (i= 0 ;i<top- 1 ;i++)  /*  冒泡排序， x 坐标小的排在前面； x 坐标相同者， y 坐标小的排在前面  */  
 { 
   for (j=i+ 1 ;j<top;j++) 
  { 
    if ( PointSet[i].x>PointSet[j].x || fabs(PointSet[i].x-PointSet[j].x)<EP && PointSet[i].y>PointSet[j].y ) 
   { 
    tmp=PointSet[i]; 
    PointSet[i]=PointSet[j]; 
    PointSet[j]=tmp; 
   } 
  } 
 } 

  for (i= 0 ;i<top- 1 ;i++) 
 { 
  tmp.x=(PointSet[i].x+PointSet[i+ 1 ].x)/ 2 ;  // 得到两个相邻交点的中点  
  tmp.y=(PointSet[i].y+PointSet[i+ 1 ].y)/ 2 ; 
   if (!insidepolygon(vcount,polygon,tmp)) 
    return   false ; 
 } 
  return   true ; 
} 
/*********************************************************************************************  
求任意简单多边形 polygon 的重心  
需要调用下面几个函数：  
 void AddPosPart();  增加右边区域的面积  
 void AddNegPart();  增加左边区域的面积  
 void AddRegion();  增加区域面积  
在使用该程序时，如果把 xtr,ytr,wtr,xtl,ytl,wtl 设成全局变量就可以使这些函数的形式得到化简 ,
但要注意函数的声明和调用要做相应变化  
**********************************************************************************************/  
void  AddPosPart( double  x,  double  y,  double  w,  double  &xtr,  double  &ytr,  double  &wtr) 
{ 
  if  (abs(wtr + w)<1e- 10  )  return ;  // detect zero regions 
 xtr = ( wtr*xtr + w*x ) / ( wtr + w ); 
 ytr = ( wtr*ytr + w*y ) / ( wtr + w ); 
 wtr = w + wtr; 
  return ; 
} 
void  AddNegPart( double  x, ouble y,  double  w,  double  &xtl,  double  &ytl,  double  &wtl) 
{ 
  if  ( abs(wtl + w)<1e- 10  ) 
   return ;  // detect zero regions 

 xtl = ( wtl*xtl + w*x ) / ( wtl + w ); 
 ytl = ( wtl*ytl + w*y ) / ( wtl + w ); 
 wtl = w + wtl; 
  return ; 
} 
void  AddRegion (  double  x1,  double  y1,  double  x2,  double  y2,  double  &xtr,  double  &ytr, 
   double  &wtr,  double  &xtl,  double  &ytl,  double  &wtl ) 
{ 
  if  ( abs (x1 - x2)< 1e- 10  ) 
   return ; 

  if  ( x2 > x1 ) 
 { 
  AddPosPart ((x2+x1)/ 2 , y1/ 2 , (x2-x1) * y1,xtr,ytr,wtr);  /* rectangle  全局变量变化处  */  
  AddPosPart ((x1+x2+x2)/ 3 , (y1+y1+y2)/ 3 , (x2-x1)*(y2-y1)/ 2 ,xtr,ytr,wtr);    
   // triangle  全局变量变化处  
 } 
  else  
 { 
  AddNegPart ((x2+x1)/ 2 , y1/ 2 , (x2-x1) * y1,xtl,ytl,wtl);  
   // rectangle  全局变量变化处  
  AddNegPart ((x1+x2+x2)/ 3 , (y1+y1+y2)/ 3 , (x2-x1)*(y2-y1)/ 2 ,xtl,ytl,wtl);  
   // triangle   全局变量变化处  
 } 
} 
POINT cg_simple( int  vcount,POINT polygon[]) 
{ 
  double  xtr,ytr,wtr,xtl,ytl,wtl;        
  // 注意：   如果把 xtr,ytr,wtr,xtl,ytl,wtl 改成全局变量后这里要删去  
 POINT p1,p2,tp; 
 xtr = ytr = wtr =  0.0 ; 
 xtl = ytl = wtl =  0.0 ; 
  for ( int  i= 0 ;i<vcount;i++) 
 { 
  p1=polygon[i]; 
  p2=polygon[(i+ 1 )%vcount]; 
  AddRegion(p1.x,p1.y,p2.x,p2.y,xtr,ytr,wtr,xtl,ytl,wtl);  // 全局变量变化处  
 } 
 tp.x = (wtr*xtr + wtl*xtl) / (wtr + wtl); 
 tp.y = (wtr*ytr + wtl*ytl) / (wtr + wtl); 
  return  tp; 
} 
//  求凸多边形的重心 , 要求输入多边形按逆时针排序  
POINT gravitycenter( int  vcount,POINT polygon[]) 
{ 
 POINT tp; 
  double  x,y,s,x0,y0,cs,k; 
 x= 0 ;y= 0 ;s= 0 ; 
  for ( int  i= 1 ;i<vcount- 1 ;i++) 
 { 
  x0=(polygon[ 0 ].x+polygon[i].x+polygon[i+ 1 ].x)/ 3 ; 
  y0=(polygon[ 0 ].y+polygon[i].y+polygon[i+ 1 ].y)/ 3 ;  // 求当前三角形的重心  
  cs=multiply(polygon[i],polygon[i+ 1 ],polygon[ 0 ])/ 2 ; 
   // 三角形面积可以直接利用该公式求解  
   if (abs(s)<1e- 20 ) 
  { 
   x=x0;y=y0;s+=cs; continue ; 
  } 
  k=cs/s;  // 求面积比例  
  x=(x+k*x0)/( 1 +k); 
  y=(y+k*y0)/( 1 +k); 
  s += cs; 
 } 
 tp.x=x; 
 tp.y=y; 
  return  tp; 
} 

/************************************************
给定一简单多边形，找出一个肯定在该多边形内的点  
定理 1  ：每个多边形至少有一个凸顶点  
定理 2  ：顶点数 >=4 的简单多边形至少有一条对角线  
结论   ：  x 坐标最大，最小的点肯定是凸顶点  
 y 坐标最大，最小的点肯定是凸顶点             
************************************************/  
POINT a_point_insidepoly( int  vcount,POINT polygon[]) 
{ 
 POINT v,a,b,r; 
  int  i,index; 
 v=polygon[ 0 ]; 
 index= 0 ; 
  for (i= 1 ;i<vcount;i++)  // 寻找一个凸顶点  
 { 
   if (polygon[i].y<v.y) 
  { 
   v=polygon[i]; 
   index=i; 
  } 
 } 
 a=polygon[(index- 1 +vcount)%vcount];  // 得到 v 的前一个顶点  
 b=polygon[(index+ 1 )%vcount];  // 得到 v 的后一个顶点  
 POINT tri[ 3 ],q; 
 tri[ 0 ]=a;tri[ 1 ]=v;tri[ 2 ]=b; 
  double  md=INF; 
  int  in1=index; 
  bool  bin= false ; 
  for (i= 0 ;i<vcount;i++)  // 寻找在三角形 avb 内且离顶点 v 最近的顶点 q 
 { 
   if (i == index) continue ; 
   if (i == (index- 1 +vcount)%vcount) continue ; 
   if (i == (index+ 1 )%vcount) continue ; 
   if (!InsideConvexPolygon( 3 ,tri,polygon[i])) continue ; 
  bin= true ; 
   if (dist(v,polygon[i])<md) 
  { 
   q=polygon[i]; 
   md=dist(v,q); 
  } 
 } 
  if (!bin)  // 没有顶点在三角形 avb 内，返回线段 ab 中点  
 { 
  r.x=(a.x+b.x)/ 2 ; 
  r.y=(a.y+b.y)/ 2 ; 
   return  r; 
 } 
 r.x=(v.x+q.x)/ 2 ;  // 返回线段 vq 的中点  
 r.y=(v.y+q.y)/ 2 ; 
  return  r; 
} 
/***********************************************************************************************
求从多边形外一点 p 出发到一个简单多边形的切线 , 如果存在返回切点 , 其中 rp 点是右切点 ,lp 是左切点  
注意： p 点一定要在多边形外  , 输入顶点序列是逆时针排列  
原   理：   如果点在多边形内肯定无切线 ; 凸多边形有唯一的两个切点 , 凹多边形就可能有多于两个的切点 ; 
   如果 polygon 是凸多边形，切点只有两个只要找到就可以 , 可以化简此算法  
   如果是凹多边形还有一种算法可以求解 : 先求凹多边形的凸包 , 然后求凸包的切线  
/***********************************************************************************************/  
void  pointtangentpoly( int  vcount,POINT polygon[],POINT p,POINT &rp,POINT &lp) 
{ 
 LINESEG ep,en; 
  bool  blp,bln; 
 rp=polygon[ 0 ]; 
 lp=polygon[ 0 ]; 
  for ( int  i= 1 ;i<vcount;i++) 
 { 
  ep.s=polygon[(i+vcount- 1 )%vcount]; 
  ep.e=polygon[i]; 
  en.s=polygon[i]; 
  en.e=polygon[(i+ 1 )%vcount]; 
  blp=multiply(ep.e,p,ep.s)>= 0 ;                 // p is to the left of pre edge 
  bln=multiply(en.e,p,en.s)>= 0 ;                 // p is to the left of next edge 
   if (!blp&&bln) 
  { 
    if (multiply(polygon[i],rp,p)> 0 )            // polygon[i] is above rp 
   rp=polygon[i]; 
  } 
   if (blp&&!bln) 
  { 
    if (multiply(lp,polygon[i],p)> 0 )            // polygon[i] is below lp 
   lp=polygon[i]; 
  } 
 } 
  return  ; 
} 
//  如果多边形 polygon 的核存在，返回 true ，返回核上的一点 p. 顶点按逆时针方向输入   
bool  core_exist( int  vcount,POINT polygon[],POINT &p) 
{ 
  int  i,j,k; 
 LINESEG l; 
 LINE lineset[MAXV]; 
  for (i= 0 ;i<vcount;i++) 
 { 
  lineset[i]=makeline(polygon[i],polygon[(i+ 1 )%vcount]); 
 } 
  for (i= 0 ;i<vcount;i++) 
 { 
   for (j= 0 ;j<vcount;j++) 
  { 
    if (i == j) continue ; 
    if (lineintersect(lineset[i],lineset[j],p)) 
   { 
     for (k= 0 ;k<vcount;k++) 
    { 
     l.s=polygon[k]; 
     l.e=polygon[(k+ 1 )%vcount]; 
      if (multiply(p,l.e,l.s)> 0 )      
      // 多边形顶点按逆时针方向排列，核肯定在每条边的左侧或边上  
      break ; 
    } 
     if (k == vcount)              // 找到了一个核上的点  
     break ; 
   } 
  } 
   if (j<vcount)  break ; 
 } 
  if (i<vcount) 
   return   true ; 
  else  
   return   false ; 
} 
/*************************\ 
*       * 
*  圆的基本运算            * 
*          * 
\*************************/  
/******************************************************************************
返回值   ：   点 p 在圆内 ( 包括边界 ) 时，返回 true 
用途   ：   因为圆为凸集，所以判断点集，折线，多边形是否在圆内时，
  只需要逐一判断点是否在圆内即可。  
*******************************************************************************/  
bool  point_in_circle(POINT o, double  r,POINT p) 
{ 
  double  d2=(p.x-o.x)*(p.x-o.x)+(p.y-o.y)*(p.y-o.y); 
  double  r2=r*r; 
  return  d2<r2||abs(d2-r2)<EP; 
} 
/******************************************************************************
用   途   ：求不共线的三点确定一个圆  
输   入   ：三个点 p1,p2,p3 
返回值   ：如果三点共线，返回 false ；反之，返回 true 。圆心由 q 返回，半径由 r 返回  
*******************************************************************************/  
bool  cocircle(POINT p1,POINT p2,POINT p3,POINT &q, double  &r) 
{ 
  double  x12=p2.x-p1.x; 
  double  y12=p2.y-p1.y; 
  double  x13=p3.x-p1.x; 
  double  y13=p3.y-p1.y; 
  double  z2=x12*(p1.x+p2.x)+y12*(p1.y+p2.y); 
  double  z3=x13*(p1.x+p3.x)+y13*(p1.y+p3.y); 
  double  d= 2.0 *(x12*(p3.y-p2.y)-y12*(p3.x-p2.x)); 
  if (abs(d)<EP)  // 共线，圆不存在  
   return   false ; 
 q.x=(y13*z2-y12*z3)/d; 
 q.y=(x12*z3-x13*z2)/d; 
 r=dist(p1,q); 
  return   true ; 
} 
int  line_circle(LINE l,POINT o, double  r,POINT &p1,POINT &p2) 
{ 
  return   true ; 
} 

/**************************\ 
*        * 
*  矩形的基本运算           * 
*                         * 
\**************************/  
/* 
说明：因为矩形的特殊性，常用算法可以化简：  
1. 判断矩形是否包含点  
只要判断该点的横坐标和纵坐标是否夹在矩形的左右边和上下边之间。  
2. 判断线段、折线、多边形是否在矩形中  
因为矩形是个凸集，所以只要判断所有端点是否都在矩形中就可以了。  
3. 判断圆是否在矩形中  
圆在矩形中的充要条件是：圆心在矩形中且圆的半径小于等于圆心到矩形四边的距离的最小值。  
*/  
//  已知矩形的三个顶点 (a,b,c) ，计算第四个顶点 d 的坐标 .  注意：已知的三个顶点可以是无序的  
POINT rect4th(POINT a,POINT b,POINT c) 
{ 
 POINT d; 
  if (abs(dotmultiply(a,b,c))<EP)  //  说明 c 点是直角拐角处  
 { 
  d.x=a.x+b.x-c.x; 
  d.y=a.y+b.y-c.y; 
 } 
  if (abs(dotmultiply(a,c,b))<EP)  //  说明 b 点是直角拐角处  
 { 
  d.x=a.x+c.x-b.x; 
  d.y=a.y+c.y-b.x; 
 } 
  if (abs(dotmultiply(c,b,a))<EP)  //  说明 a 点是直角拐角处  
 { 
  d.x=c.x+b.x-a.x; 
  d.y=c.y+b.y-a.y; 
 } 
  return  d; 
} 

/*************************\ 
*      * 
*  常用算法的描述   * 
*      * 
\*************************/  
/* 
尚未实现的算法：  
1.  求包含点集的最小圆  
2.  求多边形的交  
3.  简单多边形的三角剖分  
4.  寻找包含点集的最小矩形  
5.  折线的化简  
6.  判断矩形是否在矩形中  
7.  判断矩形能否放在矩形中  
8.  矩形并的面积与周长  
9.  矩形并的轮廓  
10. 矩形并的闭包  
11. 矩形的交  
12. 点集中的最近点对  
13. 多边形的并  
14. 圆的交与并  
15. 直线与圆的关系  
16. 线段与圆的关系  
17. 求多边形的核监视摄象机  
18. 求点集中不相交点对  railwai 
*//* 
寻找包含点集的最小矩形  
原理：该矩形至少一条边与点集的凸壳的某条边共线  
First take the convex hull of the points. Let the resulting convex 
polygon be P. It has been known for some time that the minimum 
area rectangle enclosing P must have one rectangle side flush with 
(i.e., collinear with and overlapping) one edge of P. This geometric 
fact was used by Godfried Toussaint to develop the "rotating calipers" 
algorithm in a hard-to-find 1983 paper, "Solving Geometric Problems 
with the Rotating Calipers" (Proc. IEEE MELECON). The algorithm 
rotates a surrounding rectangle from one flush edge to the next, 
keeping track of the minimum area for each edge. It achieves O(n) 
time (after hull computation). See the "Rotating Calipers Homepage" 
http://www.cs.mcgill.ca/~orm/rotcal.frame.html for a description 
and applet. 
*//* 
折线的化简   伪码如下：  
Input: tol = the approximation tolerance 
L = {V0,V1,  ,Vn-1} is any n-vertex polyline 

Set start = 0; 
Set k = 0; 
Set W0 = V0; 
for each vertex Vi (i=1,n-1) 
{ 
if Vi is within tol from Vstart 
then ignore it, and continue with the next vertex 

Vi is further than tol away from Vstart 
so add it as a new vertex of the reduced polyline 
Increment k++; 
Set Wk = Vi; 
Set start = i; as the new initial vertex 
} 

Output: W = {W0,W1, ,Wk-1} = the k-vertex simplified polyline 
*/  
/********************\ 
*        * 
*  补充     * 
*     * 
\********************/  

// 两圆关系：  
/*  两圆：  
相离：  return 1 ；  
外切：  return 2 ；  
相交：  return 3 ；  
内切：  return 4 ；  
内含：  return 5 ；  
*/  
int  CircleRelation(POINT p1,  double  r1, POINT p2,  double  r2) 
{ 
  double  d = sqrt( (p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y) ); 

  if ( fabs(d-r1-r2) < EP )  //  必须保证前两个 if 先被判定！  
   return   2 ; 
  if ( fabs(d-fabs(r1-r2)) < EP ) 
   return   4 ; 
  if ( d > r1+r2 ) 
   return   1 ; 
  if ( d < fabs(r1-r2) ) 
   return   5 ; 
  if ( fabs(r1-r2) < d && d < r1+r2 ) 
   return   3 ; 
  return   0 ;  // indicate an error! 
} 
// 判断圆是否在矩形内：
//  判定圆是否在矩形内，是就返回 true （设矩形水平，且其四个顶点由左上开始按顺时针排列）  
//  调用 ptoldist 函数，在第 4 页  
bool  CircleRecRelation(POINT pc,  double  r, POINT pr1, POINT pr2, POINT pr3, POINT pr4) 
{ 
  if ( pr1.x < pc.x && pc.x < pr2.x && pr3.y < pc.y && pc.y < pr2.y ) 
 { 
  LINESEG line1(pr1, pr2); 
  LINESEG line2(pr2, pr3); 
  LINESEG line3(pr3, pr4); 
  LINESEG line4(pr4, pr1); 
   if ( r<ptoldist(pc,line1) && r<ptoldist(pc,line2) && r<ptoldist(pc,line3) && r<ptoldist(pc,line4) ) 
    return   true ; 
 } 
  return   false ; 
} 
// 点到平面的距离：  
// 点到平面的距离 , 平面用一般式表示 ax+by+cz+d=0 
double  P2planeDist( double  x,  double  y,  double  z,  double  a,  double  b,  double  c,  double  d) 
{ 
  return  fabs(a*x+b*y+c*z+d) / sqrt(a*a+b*b+c*c); 
} 
// 点是否在直线同侧：
// 两个点是否在直线同侧，是则返回 true 
bool  SameSide(POINT p1, POINT p2, LINE line) 
{ 
  return  (line.a * p1.x + line.b * p1.y + line.c) * 
 (line.a * p2.x + line.b * p2.y + line.c) >  0 ; 
}
// 镜面反射线：
//  已知入射线、镜面，求反射线。  
// a1,b1,c1 为镜面直线方程 (a1 x + b1 y + c1 = 0 , 下同 ) 系数 ;  
//a2,b2,c2 为入射光直线方程系数 ;  
//a,b,c 为反射光直线方程系数 . 
//  光是有方向的，使用时注意：入射光向量 :<-b2,a2> ；反射光向量 :<b,-a>. 
//  不要忘记结果中可能会有 "negative zeros" 
void  reflect( double  a1, double  b1, double  c1, double  a2, double  b2, double  c2, double  &a, double  &b, double  &c) 
{ 
  double  n,m; 
  double  tpb,tpa; 
 tpb=b1*b2+a1*a2; 
 tpa=a2*b1-a1*b2; 
 m=(tpb*b1+tpa*a1)/(b1*b1+a1*a1); 
 n=(tpa*b1-tpb*a1)/(b1*b1+a1*a1); 
  if (fabs(a1*b2-a2*b1)<1e- 20 ) 
 { 
  a=a2;b=b2;c=c2; 
   return ; 
 } 
  double  xx,yy;  //(xx,yy) 是入射线与镜面的交点。  
 xx=(b1*c2-b2*c1)/(a1*b2-a2*b1); 
 yy=(a2*c1-a1*c2)/(a1*b2-a2*b1); 
 a=n; 
 b=-m; 
 c=m*yy-xx*n; 
} 
// 矩形包含：  
//  矩形 2 （ C ， D ）是否在 1 （ A ， B ）内
bool  r2inr1( double  A, double  B, double  C, double  D)  
{ 
  double  X,Y,L,K,DMax; 
  if  (A < B) 
 { 
   double  tmp = A; 
  A = B; 
  B = tmp; 
 } 
  if  (C < D) 
 { 
   double  tmp = C; 
  C = D; 
  D = tmp; 
 } 
  if  (A > C && B > D)                  // trivial case  
   return   true ; 
  else  
   if  (D >= B) 
    return   false ; 
   else  
  { 
   X = sqrt(A * A + B * B);          // outer rectangle's diagonal  
   Y = sqrt(C * C + D * D);          // inner rectangle's diagonal  
    if  (Y < B)  // check for marginal conditions 
     return   true ;  // the inner rectangle can freely rotate inside 
    else  
     if  (Y > X) 
      return   false ; 
     else  
    { 
     L = (B - sqrt(Y * Y - A * A)) /  2 ; 
     K = (A - sqrt(Y * Y - B * B)) /  2 ; 
     DMax = sqrt(L * L + K * K); 
      if  (D >= DMax) 
      return   false ; 
      else  
      return   true ; 
    } 
  } 
} 
// 两圆交点：  
//  两圆已经相交（相切）  
void   c2point(POINT p1, double  r1,POINT p2, double  r2,POINT &rp1,POINT &rp2) 
{ 
  double  a,b,r; 
 a=p2.x-p1.x; 
 b=p2.y-p1.y; 
 r=(a*a+b*b+r1*r1-r2*r2)/ 2 ; 
  if (a== 0 &&b!= 0 ) 
 { 
  rp1.y=rp2.y=r/b; 
  rp1.x=sqrt(r1*r1-rp1.y*rp1.y); 
  rp2.x=-rp1.x; 
 } 
  else   if (a!= 0 &&b== 0 ) 
 { 
  rp1.x=rp2.x=r/a; 
  rp1.y=sqrt(r1*r1-rp1.x*rp2.x); 
  rp2.y=-rp1.y; 
 } 
  else   if (a!= 0 &&b!= 0 ) 
 { 
   double  delta; 
  delta=b*b*r*r-(a*a+b*b)*(r*r-r1*r1*a*a); 
  rp1.y=(b*r+sqrt(delta))/(a*a+b*b); 
  rp2.y=(b*r-sqrt(delta))/(a*a+b*b); 
  rp1.x=(r-b*rp1.y)/a; 
  rp2.x=(r-b*rp2.y)/a; 
 } 

 rp1.x+=p1.x; 
 rp1.y+=p1.y; 
 rp2.x+=p1.x; 
 rp2.y+=p1.y; 
} 
// 两圆公共面积：
//  必须保证相交  
double  c2area(POINT p1, double  r1,POINT p2, double  r2) 
{ 
 POINT rp1,rp2; 
 c2point(p1,r1,p2,r2,rp1,rp2); 

  if (r1>r2)  // 保证 r2>r1 
 { 
  swap(p1,p2); 
  swap(r1,r2); 
 } 
  double  a,b,rr; 
 a=p1.x-p2.x; 
 b=p1.y-p2.y; 
 rr=sqrt(a*a+b*b); 

  double  dx1,dy1,dx2,dy2; 
  double  sita1,sita2; 
 dx1=rp1.x-p1.x; 
 dy1=rp1.y-p1.y; 
 dx2=rp2.x-p1.x; 
 dy2=rp2.y-p1.y; 
 sita1=acos((dx1*dx2+dy1*dy2)/r1/r1); 

 dx1=rp1.x-p2.x; 
 dy1=rp1.y-p2.y; 
 dx2=rp2.x-p2.x; 
 dy2=rp2.y-p2.y; 
 sita2=acos((dx1*dx2+dy1*dy2)/r2/r2); 
  double  s= 0 ; 
  if (rr<r2) // 相交弧为优弧  
  s=r1*r1*(PI-sita1/ 2 +sin(sita1)/ 2 )+r2*r2*(sita2-sin(sita2))/ 2 ; 
  else // 相交弧为劣弧  
  s=(r1*r1*(sita1-sin(sita1))+r2*r2*(sita2-sin(sita2)))/ 2 ; 

  return  s; 
} 
// 圆和直线关系：  
//0---- 相离  1---- 相切  2---- 相交  
int  clpoint(POINT p, double  r, double  a, double  b, double  c,POINT &rp1,POINT &rp2) 
{ 
  int  res= 0 ; 

 c=c+a*p.x+b*p.y; 
  double  tmp; 
  if (a== 0 &&b!= 0 ) 
 { 
  tmp=-c/b; 
   if (r*r<tmp*tmp) 
   res= 0 ; 
   else   if (r*r==tmp*tmp) 
  { 
   res= 1 ; 
   rp1.y=tmp; 
   rp1.x= 0 ; 
  } 
   else  
  { 
   res= 2 ; 
   rp1.y=rp2.y=tmp; 
   rp1.x=sqrt(r*r-tmp*tmp); 
   rp2.x=-rp1.x; 
  } 
 } 
  else   if (a!= 0 &&b== 0 ) 
 { 
  tmp=-c/a; 
   if (r*r<tmp*tmp) 
   res= 0 ; 
   else   if (r*r==tmp*tmp) 
  { 
   res= 1 ; 
   rp1.x=tmp; 
   rp1.y= 0 ; 
  } 
   else  
  { 
   res= 2 ; 
   rp1.x=rp2.x=tmp; 
   rp1.y=sqrt(r*r-tmp*tmp); 
   rp2.y=-rp1.y; 
  } 
 } 
  else   if (a!= 0 &&b!= 0 ) 
 { 
   double  delta; 
  delta=b*b*c*c-(a*a+b*b)*(c*c-a*a*r*r); 
   if (delta< 0 ) 
   res= 0 ; 
   else   if (delta== 0 ) 
  { 
   res= 1 ; 
   rp1.y=-b*c/(a*a+b*b); 
   rp1.x=(-c-b*rp1.y)/a; 
  } 
   else  
  { 
   res= 2 ; 
   rp1.y=(-b*c+sqrt(delta))/(a*a+b*b); 
   rp2.y=(-b*c-sqrt(delta))/(a*a+b*b); 
   rp1.x=(-c-b*rp1.y)/a; 
   rp2.x=(-c-b*rp2.y)/a; 
  } 
 } 
 rp1.x+=p.x; 
 rp1.y+=p.y; 
 rp2.x+=p.x; 
 rp2.y+=p.y; 
  return  res; 
} 
// 内切圆：  
void  incircle(POINT p1,POINT p2,POINT p3,POINT &rp, double  &r) 
{ 
  double  dx31,dy31,dx21,dy21,d31,d21,a1,b1,c1; 
 dx31=p3.x-p1.x; 
 dy31=p3.y-p1.y; 
 dx21=p2.x-p1.x; 
 dy21=p2.y-p1.y; 

 d31=sqrt(dx31*dx31+dy31*dy31); 
 d21=sqrt(dx21*dx21+dy21*dy21); 
 a1=dx31*d21-dx21*d31; 
 b1=dy31*d21-dy21*d31; 
 c1=a1*p1.x+b1*p1.y; 

  double  dx32,dy32,dx12,dy12,d32,d12,a2,b2,c2; 
 dx32=p3.x-p2.x; 
 dy32=p3.y-p2.y; 
 dx12=-dx21; 
 dy12=-dy21; 

 d32=sqrt(dx32*dx32+dy32*dy32); 
 d12=d21; 
 a2=dx12*d32-dx32*d12; 
 b2=dy12*d32-dy32*d12; 
 c2=a2*p2.x+b2*p2.y; 

 rp.x=(c1*b2-c2*b1)/(a1*b2-a2*b1); 
 rp.y=(c2*a1-c1*a2)/(a1*b2-a2*b1); 
 r=fabs(dy21*rp.x-dx21*rp.y+dx21*p1.y-dy21*p1.x)/d21; 
} 
// 求切点：  
// p--- 圆心坐标，  r--- 圆半径，  sp--- 圆外一点，  rp1,rp2--- 切点坐标  
void  cutpoint(POINT p, double  r,POINT sp,POINT &rp1,POINT &rp2) 
{ 
 POINT p2; 
 p2.x=(p.x+sp.x)/ 2 ; 
 p2.y=(p.y+sp.y)/ 2 ; 

  double  dx2,dy2,r2; 
 dx2=p2.x-p.x; 
 dy2=p2.y-p.y; 
 r2=sqrt(dx2*dx2+dy2*dy2); 
 c2point(p,r,p2,r2,rp1,rp2); 
} 
// 线段的左右旋：  
/* l2 在 l1 的左 / 右方向（ l1 为基准线）  
返回  0  ：   重合；  
返回  1  ：   右旋；  
返回  –1  ：   左旋；  
*/  
int  rotat(LINESEG l1,LINESEG l2) 
{ 
  double  dx1,dx2,dy1,dy2; 
 dx1=l1.s.x-l1.e.x; 
 dy1=l1.s.y-l1.e.y; 
 dx2=l2.s.x-l2.e.x; 
 dy2=l2.s.y-l2.e.y; 

  double  d; 
 d=dx1*dy2-dx2*dy1; 
  if (d== 0 ) 
   return   0 ; 
  else   if (d> 0 ) 
   return  - 1 ; 
  else  
   return   1 ; 
} 
/*
公式：  

球坐标公式：  
直角坐标为  P(x, y, z)  时，对应的球坐标是 (rsinφcosθ, rsinφsinθ, rcosφ), 其中 φ 是向量 OP 与 Z 轴的夹角，范围 [0 ， π] ；是 OP 在 XOY 面上的投影到 X 轴的旋角，范围 [0 ， 2π]  

直线的一般方程转化成向量方程：  
ax+by+c=0 
x-x0     y-y0 
   ------ = ------- // (x0,y0) 为直线上一点， m,n 为向量  
m        n 
转换关系：  
a=n ； b=-m ； c=m·y0-n·x0 ；  
m=-b; n=a; 

三点平面方程：  
三点为 P1 ， P2 ， P3 
设向量   M1=P2-P1; M2=P3-P1; 
平面法向量：   M=M1 x M2  （）  
平面方程：     M.i(x-P1.x)+M.j(y-P1.y)+M.k(z-P1.z)=0 
*/