康托展开
X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!
ai为整数,表示当前未出现的元素中是排在第几个(从0开始)。并且0<=ai<i(1<=i<=n)
x表示当前串字典序为第x大。康托展开的要求是每个字符都不相同。
这个公式可能看着让人头大,最好举个例子来说明一下。例如,有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"],它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"],现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度,也就是4,所以
X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥?
a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,"D"是第3大的元素,所以 a4 = 3。
a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,所以 a3 = 1。
a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"C"是第1大的元素,所以 a2 = 0。
a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素,所以 a1 = 0。(因为子数组只有1个元素,所以a1总是为0)。
所以,X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20。
int fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320}; //i的阶乘为fac[i] /* 康托展开. {1...n}的全排列由小到大有序,s[]为第几个数 */ int KT(int n, int s[]) { int i, j, t, sum; sum = 0; for (i=0; i<n; i++) { t = 0; for (j=i+1; j<n; j++) if (s[j] < s[i]) t++; sum += t*fac[n-i-1]; } return sum+1; }
通过康托逆展开生成全排列
如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"],X(s1) = 20,能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢?
因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20,所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1?如果不考虑 ai 的取值范围,有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai,如下图所示:
知道了a4、a3、a2、a1的值,就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D",s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B",s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A",s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C",所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。
/* 康托展开的逆运算. {1...n}的全排列,中的第k个数为s[] */ void invKT(int n, int k, int s[]) { int i, j, t, vst[8]={0}; k--; //编号从0开始,所以要-1 for (i=0; i<n; i++) { t = k/fac[n-i-1]; for (j=1; j<=n; j++) if (!vst[j]) { if (t == 0) break; t--; } s[i] = j; vst[j] = 1; k %= fac[n-i-1]; } }
参考:http://www.cnblogs.com/1-2-3/archive/2011/04/25/generate-permutation-part2.html