小波变换网文精粹：小波变换和motion信号处理(五)

小波变换网文精粹：小波变换和motion信号处理(五)

转自：http://www.kunli.info/2011/02/15/fourier-wavelet-motion-signal-1/

五、小波基的特性

        小波变换的本质和傅立叶变换类似，也是用精心挑选的basis来表示信号方程。每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个scaling function，中文是尺度函数，也被成为父小波。任何小波变换的basis函数，其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移后的集合。下面这附图就是某种小波的示意图：

        从这里看出，这里的缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。这样的好处是，小波的basis函数既有高频又有低频，同时还覆盖了时域。对于这点，我们会在之后详细阐述。

小波展开的形式通常都是这样（注意，这个只是近似表达，严谨的展开形式后面会再解释）：

            

其中的 就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。小波级数通常有很多种，但是都符合下面这些特性：

1. 小波变换对不管是一维还是高维的大部分信号都能cover很好。这个和傅立叶级数有很大区别。后者最擅长的是把一维的，类三角波连续变量函数信号映射到一维系数序列上，但对于突变信号或任何高维的非三角波信号则几乎无能为力。

2. 围绕小波级数的展开能够在时域和频域上同时定位信号，也就是说，信号的大部分能量都能由非常少的展开系数，比如a_{j,k}，决定。这个特性是得益于小波变换是二维变换。我们从两者展开的表达式就可以看出来，傅立叶级数是 ，而小波级数是 。

3. 从信号算出展开系数a需要很方便。普遍情况下，小波变换的复杂度是O(Nlog(N))，和FFT相当。有不少很快的变换甚至可以达到O(N)，也就是说，计算复杂度和信号长度是线性的关系。小波变换的等式定义，可以没有积分，没有微分，仅仅是乘法和加法即可以做到，和现代计算机的计算指令完全match。

        可能看到这里，你会有点晕了。这些特性是怎么来的？为什么需要有这些特性？具体到实践中，它们到底是怎么给小波变换带来比别人更强的好处的？计算简单这个可能好理解，因为前面我们已经讲过正交特性了。那么二维变换呢？频域和时域定位是如何进行的呢？恩，我完全理解你的感受，因为当初我看别的文章，也是有这些问题，就是看不到答案。要说想完全理解小波变换的这些本质，需要详细的讲解，所以我就把它放到下一篇了。