3D数学基础--矩阵线性变换

前言

本章主要讨论用3×3矩阵表达3D线性变换，这个变换不包括平移，包含平移的变换称作仿射变换(就是线性变换后接着平移)，需要用4×4矩阵表达。所以本章所讨论的变换都是基于坐标系原点的变换。

旋转

• 2D中的旋转：因暂不考虑平移，假设物体绕原点旋转，我们通常规定逆时针旋转为正方向，顺时针为负方向(不是必须)。得到的2D旋转矩阵如下图所示：
  

• 3D中绕坐标轴旋转：同样讨论前需先明确正方向，左手坐标系中定义此方向的规则是左手法则(对应的右手坐标系定义的规则是右手法则)，左手法则是：大拇指指向旋转轴的正方向，此时，四指弯曲的方向就是旋转的正方向。如下图所示：
  

  (1)绕x轴旋转：即x轴不变，y,z轴旋转，示意图与公式如下图：
  

  (2)绕y轴旋转：
  

  (3)绕z轴旋转：
  

• 3D中绕任意轴旋转：不考虑平移，假定任意轴都穿过原点。用单位向量n描述旋转轴，用θ描述旋转量。公式如下：
  

缩放

• 我们可以通过让比例因子k按比例变大或缩小来缩放物体。如果每个轴上的缩放因子都相等，这样的缩放为均匀缩放(等比例缩放)，否则为非均匀缩放。

• 普通缩放
  (1)沿坐标轴的2D缩放矩阵示意图与公式如下：
  

  (2)同上，沿坐标轴的3D缩放矩阵公式：
  

  (3)沿任意方向的缩放公式：
  

• 特殊缩放
  (1)正交投影：投影其实就是降维操作，有一种投影方法是在某个方向上用零作为缩放因子，这种类型的投影称作正交投影。(还有一种透视投影以后讨论)
  向坐标轴或平面上投影如下图所示：
  
  

  向任意直线或平面投影：和前面一样，不考虑平移，这些直线或平面都必须通过原点。投影由垂直于直线或平面的单位向量n定义，注意n垂直于投影直接，不是平行。公式如下：
  

  
  

  (2)镜像(反射)：其表现是将物体沿直线或平面翻折，其实就是设置缩放因子为-1实现的。示意图和公式如下：
  

  

  

  (3)切变：是一种坐标系的扭曲变换，非均匀拉伸，角度会发生变化，但面积和体积却保持不变。基本思想是将某一坐标的乘积加到另一个上，例如，2D中，将y乘以某个因子然后加到x上，得到x = x + sy。示意图和公式如下：
  

  

  

变换的组合

乘一个矩阵就等于对应做了某种变换，而矩阵数学计算满足结合律，所以当一个物体要做一系列变换时，可以先将每个矩阵相乘得到一个矩阵，这个新矩阵就代表依次执行原变换的累加效果。这样还能省几次矩阵乘法，从而提高效率。例如：要渲染一个物体，首先要把物体从物体坐标系变换到世界坐标系(M1矩阵)，然后再从世界坐标系变换到摄像机坐标系(M2矩阵)。一般我们要分别乘以这两个矩阵，现在我们可以先计算M = M1 × M2，再只要乘以M一个矩阵就可以了。