最大子序列和问题

这是在《数据结构与算法分析 Java语言描述中文第二版》里的一个问题。本文记载我对书中该问题的第四种解法的理解。

问题：

分析：数列的最大子序列必定是以j结尾的，其中，j属于[A1,AN]。首先，我们计算出以j结尾的子序列中的最大子序列的和；然后，因为j有N个值，也就是说第一步得到N最大子序列的和，这N个值中最大的那一个就是最终答案。从N个数中找出最大值是很容易的。关键是，在以j结尾的子序列中，哪一个是最大的。下面来分析解决这个问题。

局部看：

存在子序列：A1,A2,A3...Ai...A（j-1）,Aj。我们现在的问题是，求这个序列的以Aj结尾的子序列的和中的最大值？

                            Sum = Aj + A(j-1) + ...Ai...+ A3 + A2 + A1;

其中，只有Aj是必须的。

我们的目的去掉A1,A2,A3...，使得Sum值最大。我们知道，减去一个负数可以使一个数变大，所以如果A1 + A2 + A3 + ... A(i-1)< 0,那么：

                       Aj + A(j-1) + ...Ai > Aj + A(j-1) + ...Ai...+ A3 + A2 + A1;

如果Ai + ...  + A(k-1) < 0,其中k < j。那么：

                      Aj + A(j-1) + ...Ak >Aj + A(j-1) + ...Ai;

也就是说，不断去掉和为负的前缀序列，以Aj结尾的子序列的和就会不断变大。当所有和为负的前缀序列都去掉时，以Aj结尾的子序列的和就变到最大了。因为这时，Aj结尾的子序列的任意前缀序列的和都是大于等于0的，减去任意前缀序列最多使和不变，甚至变小。

此时，我们找到了求这个序列的以Aj结尾的子序列的和的最大值的方法，就是去掉序列中所有和为负的前缀序列。

全局看：

                 Sum（j-1） = A(j-1) + ...Ai...+ A3 + A2 + A1;

                  Sum（j） = Aj +Sum（j-1）;

如果Sum（j-1）< 0，就应该去掉。

结合源代码来做个总结：

public int maxSubSum(int[] a) {
		int maxSum = 0;
		int thisSum = 0;
		for(int j = 0; j < a.length; j++) {
			thisSum += a[j];
			if(thisSum > maxSum) {
				maxSum = thisSum;
			}
			// 和为0的序列不可能是最大子序列的前缀，删掉
			if(thisSum < 0) {
				thisSum = 0;
			}
		}
		return maxSum;
	}

for循环的每一次迭代计算一个以Aj结尾的序列的最大子序列和thisSum。如果thisSum < 0,这个值将被设为0，也就是说，它所代表的序列不能作为以Aj后面的元素结尾的序列的最大子序列的前缀。按照这个过程，其实，在计算以Aj结尾的序列的最大子序列和thisSum时，Aj所有和为负的前缀序列都去掉了。

书中阐释这个算法正确性的部分的意思是这样的：和为负的序列不可能作为最大子序列的前缀，并且，存在序列Ai,A(i+1),A(i+2),A(i+3)...A(j-1),Aj。如果Ai,A(i+1),A(i+2),A(i+3)...A(j-1),不能作为Aj的前缀序列，那么A(p)...A(j-1)也不能作为Aj的前缀，其中i<p<j。因为如果Ai+A(i+1)+A(i+2)+A(i+3)+ ...+ A(j-1)<0的话，那么A(p)+...+A(j-1)<0也是成立的，因为Ai...A(p-1)作为另一个可能的最大子序列的前缀，该序列的和必定大于等于0。Ai,A(i+1),A(i+2),A(i+3)...A(j-1)少了Ai...A(p-1)不可能使数列的和变大。

我认为从这个解释直接到上面的代码跨度太大了，所以才有上文更仔细的解释。