3566: [SHOI2014]概率充电器 概率与期望+树形DP

神题ORZ。

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我们用 fi,0 来表示 i 的子树（含 i ）给 i 充不上电的概率，用 fi,1 表示 i 的父亲给 i 充不上电的概率。
用 hi 表示 i 对其父亲 fa 的贡献，所以有

hi=fi,0+(1−fi,0)∗(1−p(fa−>i))

那么我们 dfs 一遍可以求出所有的 fi,0 。

fi,0=(1−qi)∗∏hson

fi,1 怎么求呢，我们考虑再一遍 dfs ，这一次由父亲向儿子转移。
令 t=hson<eps?0:fx,1∗fx,0hson ，即 x 给 son 充不上电的概率，注意 fx,0hson 是要除去 hson 本身对 x 的贡献。那么有

fson,1=t+(1−t)∗(1−p(son−>fa))

ans=∑1−fi,0∗fi,1

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 500005
using namespace std;
int n,cnt;
int head[N];
int list[N<<1],next[N<<1];
double key[N<<1];
double f[N][2];
double h[N];
inline int read()
{
    int a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
    return a*f;
}
inline void insert(int x,int y,double z)
{
    next[++cnt]=head[x];
    head[x]=cnt;
    list[cnt]=y;
    key[cnt]=z;
}
void dfs(int x,int fa)
{
    for (int i=head[x];i;i=next[i])
        if (list[i]!=fa)
        {
            dfs(list[i],x);
            h[list[i]]=f[list[i]][0]+(1-f[list[i]][0])*(1-key[i]);
            f[x][0]*=h[list[i]];
        }
}
void dfs1(int x,int fa)
{
    for (int i=head[x];i;i=next[i])
        if (list[i]!=fa)
        {
            double t=h[list[i]]<1e-6?0:f[x][1]*f[x][0]/h[list[i]];
            f[list[i]][1]=t+(1-t)*(1-key[i]);
            dfs1(list[i],x);
        }
}
int main()
{
    n=read(); 
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        int u=read(),v=read(),w=read();
        insert(u,v,w/100.0); insert(v,u,w/100.0);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x=read();
        f[i][0]=1-x/100.0;
    }
    dfs(1,0);
    f[1][1]=1;
    dfs1(1,0);
    double ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        ans+=1-f[i][0]*f[i][1];
    printf("%.6lf",ans);
    return 0;
}