半平面交

二维平面中直线可以用ax+by+c=0来描述，半平面则可以使

用不等式来描述。例如ax+by+c>=0或者ax+by+c<0等等。

 若干个半平面相交，可能得到不同性质的答案。例如凸多边形、

直线、射线、线段、点，也有可能不是封闭图形。

 半平面相交可以解决多边形核的问题。所谓多边形的核，就是

指多边形的一个点，该点与多边形的其他所有点的连线都在多

边形内。这样的点构成的点集称为多边形的核。显然，凸多边

形的核就是它自己。而凹多边形的核有可能是空集。

 半平面相交的算法：暴力法，对n个半平面逐一去遍历求交点

并进行取舍；分治法，两两相交再求交，应该是利用半平面相

交结果肯定不为凹的性质。这里说的是zzy提出来的排序增量法

——s&i算法。s&i算法与分治法都是O(nlgn)。

 将半平面按极角排序，所谓半平面的极角可以看作是其法向量

的极角。将半平面均写成ax+by+c>=0或者ax+by+c>0的形

式，则其方向量就是(a,b)。如果输入全部是整点，则排序最好

使用先象限后叉积，不要用反三角函数，避免精度问题。另外，

如果2个半平面极角相等也就是平行，只取更靠近法向量发现的

那个，其余全部删除。半平面平行，则a、b取值在归一化形式

下相等，因此谁更靠近法向量实质上就是比较c。另外，如果以

多边形边的形式给定半平面，则多边形必然是顺时针或者逆时针

方向，例如给定边的2个端点A、B，又知道是逆时针给定的，法

向量必然在AB方向的左侧且垂直，对所有的边都一样。因此实际

上可以不用排法向量，只要排序边的方向即可，它们是一一对应的。

 为了将平行半平面删除，首先规定更靠近法向量方向的半平面

更小，也就是排序时排在前面。如果使用STL，则sort以后可以

很方便的使用unique进行剔除。自己书写源代码也很容易。

 本质上维持一个双端队列，初始将最开始的2个半平面加入队列。

  循环，for每一个新的半平面

       while最顶端的2个半平面的交点在当前半平面外，删除最

顶端的半平面（当队列里只剩下1个就不用循环了）

       while最底端的2个半平面的交点在当前半平面外，删除最

底端的半平面（当队列里只剩下1个就不用循环了）  

       将当前半平面加入顶端

 循环完毕以后，做一个后处理，实际上跟上述循环类似while最

顶端的2个半平面的交点在最底端半平面外，删除最顶端的半平

面（当队列里只剩下1个就不用循环了）

       while最底端的2个半平面的交点在最顶端半平面外，删除最

底端的半平面（当队列里只剩下1个就不用循环了） 

 此时队列里剩下的半平面就是用来求交集的半平面。求交之前可做一个判断。对于多边形求核问题，因为多边形是封闭的，所以

半平面的交集一定是有界的，因此此时队列里至少剩下3个半平面，否则就是空集无解。如果是纯半平面相交问题，则可以根据数

据范围加一个包围盒，一样能够保证交集有界。

 如果还需具体求出半平面的交集，则将队列里相邻半平面求交点，

交点所围成的图形就是交集。如果半平面都是ax+by+c>0的形式，

则要求交集有面积。这个可以根据具体题意进行判断。

 算法的正确性以及其他理论问题可以参考zzy的论文考虑解决，使用

上述方法流程可以很容易的解决POJ3335、POJ3130、POJ1474、

POJ2451、POJ3525、POJ3384、POJ1755等。

转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_833d50630100xu0x.html