温故统计学（二）

期望的线性性

E(CX)=CE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)

期望的线性性与独立性无关。

指示器随机变量的期望

• 给定样本空间 S 和 S 中的事件 A ，令 XA=1{A} ，则 E(XA)=Pr{A}

为证明此引理，我们需要知道指示器随机变量的定义以及离散型随机变量的期望的定义。

给定一个样本空间 S 和事件 A ，那么事件 A 的指示器随机变量 1{A} 定义为：

1{A}={1,0,如果A发生的话如果A不发生

所以有：

E(1{A})=1⋅Pr(A)+0⋅Pr(A¯)=Pr(A)

二项分布的泊松逼近

泊松定理：

在独立试验中，以 pn 代表事件 A 在试验中出现的概率，它与试验次数无关，如果：

limn→∞npn=λ⇓b(k;n,pn)→λke−λk!

证明：

limn→∞npn=λ⇓pn=λn+1no(1),(1−pn)=(1−λn−1no(1))⇓b(k;n,pn)=n!k!(n−k)!pkn(1−pn)n−k=n!k!(n−k)!(λn+1no(1))k(1−λn−1no(1))n−k=(λ+o(1))kk!(1−λn−1no(1))nn(n−1)⋯(n−k+1)nk(1−λn−1no(1))k=(λ+o(1))kk!(1−λn−1no(1))n1(1−1n)⋯(1−k−1n)(1−λn−1no(1))k

当 n→∞ 时，

b(k;n,pn)→λke−λk!b(k;n,pn)→Possion(X=k|npn)