【BZOJ3143】【Hnoi2013】游走 高斯消元 解期望方程

链接：

#include <stdio.h>
int main()
{
    puts("转载请注明出处[vmurder]谢谢");
    puts("网址：blog.csdn.net/vmurder/article/details/44542575");
}

哎一听这个题目名字就感觉好有趣。

题解：

（注意：下方的题解每一步如果，相当于你写个递归函数，每次求完了下一层的值才能求此层的。Wow略高能，）
首先我们整体上既然是求期望，那么我们如果能算出每条边的期望经过次数 wi ，那么只需要把1~m这些边权值从小到大按期望从大到小填入这些边，就可以得到最小的期望路径长度啦。

然后怎么求每条边的期望经过次数呢？
我们设边 i 的两端点为 u 和 v ，点 i 的出边度数为 di ，如果我们能算出每个点的期望经过次数，设为 xi ，那么就有下列求边期望经过次数的公式：
wi=xudu+xvdv

然后每个点的期望经过次数怎么求呢？
一般情况下是这样的：
xi=∑exist an edge from j to ijxjdj
( 妈呀不要D我上面的脑残 ∑ 表达式

其中点 1 固定经过一次，所以 x1=(∑exist an edge from j to 1jxjdj)+1
然后因为进 n 就不出去了，所以 xn=1

然后变成高斯消元的方程的形式，转移下几个项后，代码如下：

    for(i=1;i<n;i++)a[i][i]=-1;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        a[U[i]][V[i]]+=1.0/d[V[i]];
        a[V[i]][U[i]]+=1.0/d[U[i]];
    }
    for(i=1;i<=n;i++)a[n][i]=0;
    a[1][n+1]=-1,a[n][n]=1;

算出 x 后回代到步骤二，算出 w ，然后排序贪心出解。

代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 505
#define M 250000
using namespace std;
double a[N][N],x[N],w[M],ans;
void Gauss(int n,int m)
{
    int i,j,k;
    for(i=1;i<m;i++)
    {
        for(k=i,j=i+1;j<=n;j++)if(fabs(a[k][i])<fabs(a[j][i]))k=j;
        if(i!=k)for(j=i;j<=m;j++)swap(a[i][j],a[k][j]);
        for(j=i+1;j<=n;j++)
        {
            double rate=a[j][i]/a[i][i];
            for(k=i;k<=m;k++)a[j][k]-=a[i][k]*rate;
        }
    }
    for(i=m-1;i;i--)
    {
        for(j=i+1;j<m;j++)a[i][m]-=a[i][j]*x[j];
        x[i]=a[i][m]/a[i][i];
    }
}
int n,m;
int U[M],V[M],d[N];
int main()
{
    int i;

    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&U[i],&V[i]);
        d[U[i]]++,d[V[i]]++;
    }
    for(i=1;i<n;i++)a[i][i]=-1;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        a[U[i]][V[i]]+=1.0/d[V[i]];
        a[V[i]][U[i]]+=1.0/d[U[i]];
    }
    for(i=1;i<=n;i++)a[n][i]=0;
    a[1][n+1]=-1,a[n][n]=1;
    Gauss(n,n+1);
    for(i=1;i<=m;i++)w[i]=x[U[i]]/d[U[i]]+x[V[i]]/d[V[i]];
    sort(w+1,w+m+1);
    for(i=1;i<=m;i++)ans+=(m-i+1)*w[i];
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}