从排列与组合的python实现到"生日问题"的解释

在 数论及Python实践一文中，我们介绍了组合的基本定义以及一些常规实现方法，并未充分发挥python语言的优势，本文我们从reduce函数的角度（从这个角度我们应当恢复reduce正宫娘娘的地位，因为在python3中Guido将reduce从系统内置函数降格为functools中的函数），重新实现给出排列组合的各自实现，以及据此给出”生日问题”的概率解释。

 (nk)=n!k!(n−k)! (nk)=(n−1k)+(n−1k−1)  

第二行公式可看做其递归定义式。我们换个记号继续推导：

C k n === C k n−1 +C k−1 n−1 C k n−1 +C k−1 n−2 +C k−2 n−2 ⋯  

这里还有一个经典的结论：

∑ k=0 n (nk)=2 n  

如何证明，其实很简单，回归定义（组合数combination，又叫二项式系数binomial coefficients），对 2 n   进行二项展开，即：

2 n === (1+1) n (n0)+(n1)+⋯+(nn−1)+(nn)∑ k=0 n (nk)  

2 n   这不正是二进制嘛！这个结论有什么用？举个栗子，给定三个卡片，编号为 1−3  ，使用该等式可得其会有 2 3 =8  种组合（combinations或叫subsets）（包括空集）：

|{{};{1};{2};{3};{1,2};{1,3};{2,3};{1,2,3}}|=8 

以二进制的形式理解的话即为：

• 0：000
• 1：001
• 2：010
• 3：011
• 4：100
• 5：101
• 6：110
• 7：111

再来考虑这样一种情形，从 n  个数中随机选择 k  个，再从余下的 n−k  个随机选择 p  个，组合数一共多少：

(nk)⋅(n−kp)=n!k!(n−k)! ⋅(n−k)!p!(n−k−p)! =n!k!p!(n−k−p)!  

将此记为： (nk,p)  ，也即 (nk,p)=n!k!p!(n−k−p)!  

再来看几个结论：

A k n =n!(n−k)!  

所以有：

(nk)A k k =n!k!(n−k)! k!=A k n  

N k ≠[A k N =(Nk)A k k ] 

左边允许重复，右边不允许重复；

当我们试图用reduce实现组合数的计算时，

(nk)=n!k!(n−k)! =∏ i=n−k+1 n ik! =A k n k!  

from functools import reduce
import operator

def fac(n):
    return reduce(operator.mul, range(1, n+1), 1)
                            # 阶乘n!的定义
                            # reduce与operator.mul结合
def perm(n, k):
    return reduce(operator.mul, range(n-k+1, n+1), 1)   
                            # 排列数的定义
def comb(n, k):
    return perm(n, k)//fac(k)                   

def test():
    print('{}!={}'.format(5, fac(5)))
    print('A_{}^{}={}'.format(5, 2, perm(5, 2)))
    print('C_{}^{}={}'.format(5, 2, comb(5, 2)))
if __name__ == '__main__':
    test()

运行结果为：

5!=120 A_5^2=20 C_5^2=10

由以上准备，我们可求解概率论史上的经典问题（概率论史上的经典问题一般是指违反直觉的那些问题）”生日问题”：

一次聚会上，只要有23个人，就有50%的可能性其中至少有两个人生日相同，如果人数达到50人，至少有两个人生日相同的概率达到97%。（这个结论很恐怖，只要是班上的人数超过50，老师便可以说，我们班至少有两个人生日相同，其实在人数超过23的时候，我们便可以这么说，应为概率占优，注意，是班上会有来个人生日相同，不是说，班上至少存在一个人生日生日与我相同）。

当然这类问题从其反问题对立事件出发， 1−P(所有人都不在同一天)=P(至少有两人在同一天)  ，

p=1−A 23 365 365 23  p=1−A 50 365 365 50   

这里的 A 50 365   可以理解为，随意指定一个生日，他生日所在的自由度（或者作可选空间）为365，则下一个人只有365-1的自由度，依次类推。 365 50   是考虑到这50个人的生日大体独立，也即每一个的生日都有365个自由度（也即365种选择）。所谓概率，频率的观点（另有贝叶斯的观点）来看就是出现的次数与总的可能性之比。

>>> 1-perm(365, 23)/(365**23)
0.5072972343239854
>>> 1-perm(365, 50)/(365**50)   
0.9703735795779884

注意：如果预先指定一个生日，随机选取125人，250人，500人，出现某人生日正好是这一生日的概率分别是：

1−(364365 ) 125 ≈0.290316187907482261−(364365 ) 250 ≈0.496348886853832051−(364365 ) 500 ≈0.7463355562266258 

比想象的要小很多，再次说明概率中的许多问题都比较违反直觉。

补充：

365 50 ≠(36550)A 50 50  

为什么不等于呢？在于，左边 “ 允许重复”（同一个位置，既可以是你，也可以是他），右边 不允许重复；