Hurwitz 1, 2, 4, 8 平方和定理
Hurwitz 定理是有限群表示论的一个精彩应用，本文是若干年前读书时的笔记。
Hurwitz 定理
我们都熟悉复数的乘法：如果 $z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2$ 是两个复数，则 $|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|$，也就是
\[ (x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)=(x_1x_2-y_1y_2)^2+(x_1y_2+x_2y_1)^2.\]
1748 年 Euler 发现了如下的 4 平方和等式：
\[(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2.\]
其中
\[\left\{\begin{align*}&z_1=x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3-x_4y_4,\\&z_2=x_1y_2+x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3,\\&z_3=x_1y_3+x_3y_1-x_2y_4+x_4y_2,\\&z_4=x_1y_4+x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2.\end{align*}\right.\]
4 平方和等式说的是在 Hamilton 四元数体中范数仍然是乘性的。1848 年 Caley 发现了八元数，从而导出了类似的 8 平方和等式，当然具体写出来会很复杂，这里就按下不说了。
一般地，如果能在 $n$ 维欧式空间 $\mathbb{R}^n$ 上定义向量之间的乘法：\[\mathbb{R^n}\times\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R^n}:(v,w)\rightarrow v\times w.\]使得 $v\times w$ 对两个分量 $v,w$ 都是线性的，而且乘积的范数等于范数的乘积：$|v\times w|=|v|\cdot |w|$（这里 $|\cdot|$ 是通常的欧式范数），则我们就得到了一个 $n$ 平方和等式。
在接下来的 50 年里，人们一直致力于寻找可能的 16 平方和等式，但是都失败了，于是开始怀疑是否没有这样的等式成立。终于在 1898 年 Hurwitz 证明了这样的结论：
Hurwitz 平方和定理：设 $x=(x_1,\ldots,x_n)$, $y=(y_1,\dots,y_n)$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的向量。如果存在关于 $x,y$ 的双线性函数 $z_1(x,y),\ldots,z_n(x,y)$ 使得等式
\[(x_1^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+\cdots+y_n^2)=z_1^2+\cdots+z_n^2\]
恒成立, 那么 $n=1,2,4,8$。
正如前面说过的，Huiwitz 平方和定理说的是在实数域 $\mathbb{R}$，复数域 $\mathbb{C}$，四元数 $\mathbb{H}$ 和八元数 $\mathbb{O}$ 中，元素的（欧式）范数和向量的乘法是相容的，而在其它维数的 $\mathbb{R}^n$ 上是不可能定义与欧式范数相容的向量乘法的。
Hurwitz 本人的证明是纯线性代数的，线性代数的证明较为初等，不过步骤略长。1943 年 Eckmann 用有限群表示论的方法给了一个漂亮的证明，本文就来介绍这个证明。
Hurwitz 定理的证明
解决问题的第一步是将问题转化为矩阵方程。设 $z=(z_1,\ldots,z_n)$，则 $z$ 关于 $y$ 是线性的，因此存在 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $z=yA$，当然矩阵 $A$ 和 $x$ 有关。于是 Hurwitz 定理中的等式变成\[(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)yy'=yAA'y'.\]由于 $y$ 是不定元，因此\[AA'=(x_1^2+\cdots+x_n^2)I_n.\]
进一步，由于 $A$ 关于 $x$ 也是线性的，因此设 $A=A_1x_1+\cdots+A_nx_n$，则
\[AA'=\sum_{i=1}^nA_iA_i'x_i^2+\sum_{1\leq i<j\leq n}(A_iA_j'+A_jA_i')x_ix_j.\]
从而我们得到一组矩阵方程
\[A_iA_i'=I_n,\quad A_iA_j'+A_jA_i'=0 \quad \text{for}\ i\ne j.\]
进一步可以把 $A_n$ 归一化为单位矩阵：令 $Q_i=A_iA_n^{-1}$，于是 $Q_1,\ldots,Q_{n-1}$ 满足
\[Q_i'=-Q_i,\quad Q_i^2=-I_n,\quad Q_iQ_j=-Q_jQ_i\quad\text{for}\ i\ne j.\]
显然 $n$ 必须是偶数（奇数阶反对称矩阵行列式都是 0），而 $n=2$ 的时候结论是成立的，所以下面我们都假定 $n>2$，于是 $n$ 的可能值为 $4,6,8,\cdots$。
用群表示论的工具导出矛盾
考虑这样一个抽象群 $G$，它由元素 $a,g_1,\ldots,g_{n-1}$ 生成，且
\[ a^2=1,\quad g_i^2=a,\quad g_ig_j=ag_jg_i\ \text{when}\ i\ne j.\]
这个群的结构很好分析：
$|G|=2^n$，每个元素形如 $a^{e_0}g_1^{e_1}\cdots g_{n-1}^{e_{n-1}}$。其中 $e_i\in\{0,1\}$。
$G$ 的中心 $Z(G)=\{1,a,g_1g_2\cdots g_{n-1},ag_1g_2\cdots g_{n-1}\}$。
$G$ 的换位子群 $[G,G]=\{1,a\}$，从而 $G$ 有 $2^{n-1}$ 个线性表示。
$G$ 的任何非平凡共轭类都只有两个元素 $\{g,ag\}$，从而 $G$ 有 $2^{n-1}+2$ 个共轭类，其不可约复表示的个数也是 $2^{n-1}+2$。
于是我们知道 $G$ 有 $2^{n-1}$ 个一次表示，还有 2 个次数大于 1 的表示，设它俩的次数分布是 $f_1,f_2$，根据不可约表示次数的平方和等于 $G$ 的阶，得到方程
\[ f_1^2+f_2^2 =2^{n-1}.\]
再利用不可约表示的次数整除 $G$ 的阶，知道 $f_1$ 和 $f_2$ 都是 2 的幂，这只有一种可能，就是
\[ f_1=f_2=2^{\frac{n}{2}-1}.\]
现在 Hurwitz 矩阵方程给出了 $G$ 的一个 $n$ 维表示，这个表示可以分解为若干不可约表示的直和，我们断言其中不含有一次表示，从而只能是若干个 $2^{\frac{n}{2}-1}$ 次表示的直和：这是因为元素 $a$ 在这个表示下是 $n$ 阶矩阵 $-I_n$，从而其在任何不变子空间上的作用都是乘以 -1。但是任何一次表示都把 $a\in [G,G]$ 映射为 1，矛盾！
于是 $2^{\frac{n}{2}-1}\big| n$，设 $n=2^r\cdot s$，其中 $s$ 为奇数，则 $\frac{n}{2}-1\leq r$，从而
\[ 2^r\leq n\leq 2r+2,\]
注意 $n$ 是偶数，所以只能是 $n=4,6,8$，这就完成了 Hurwitz 定理的证明。