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解析几何圆的方程+定积分+JavaScript计算圆周率

最近数学预习到选修本的定积分，前一向用它解决了物理上的正弦交流电有效值问题，前几天突发奇想，想用它来计算圆周率。于是我花了半节物理课的时间研究了一下，得出了以下求解方法。

首先我们知道半径为r，圆心为(0, 0)的圆的方程是：

x2+y2=r2

不过以上是个方程，无法使用积分求解，所以我们要对它进行变形，变成一个函数。根据本人多年刷题经验，要把其变为函数，只需取一个半圆即可，获取半圆则需将其变形为：

y=r2−x2−−−−−−√

由于算术平方根运算的到的值 > 0，所以该函数y就是以x为自变量的一个图像为半圆的函数。

这个函数取[-r, r]的定积分就是半圆的面积吗？错！是0，因为这个半圆关于y轴对称，左右半边定积分值一正一负，所以获得的面积为0，要解决这个问题很简单，将函数沿着x轴往右平移r，取[0, 2r]的定积分即可。

最终得到如下几个数学表达式求出圆周率：

y(x)=r2−(x−r)2−−−−−−−−−−−√

s=∫2r0y(x)dx

π=2sr2

接下来的步骤就是求定积分的值了。如果要用牛顿—莱布尼茨公式，需要去找F(x)，F’(X) = y(x)。不过这个寻找的过程比较复杂，所以我就直接通过程序计算来实现获取面积近似值。正如定积分所定义，我们可以用如下示意图来理解如何获取面积近似值：

当我们把半圆分割为n（n为无穷大）个矩形，那么这个半圆面积就是这n个矩形的面积之和。

有了以上理论，就不难使用代码来实现了：

<!DOCTYPE html>
<html> <head> <title>Calculate PI</title> <script type="text/javascript"> var r = 1, dx = 0.00000001, upperLimit = r * 2; function y (x) { var cx = x - r; return Math.sqrt(r * r - cx * cx); } function main () { var s = 0; for (var x = 0; x < upperLimit; x += dx) { s += dx * y(x); } var pi = (s * 2) / (r * r); document.write("Calculational Value: " + pi); document.write("<br />"); document.write("Theoretical Value: 3.1415926535897932"); } main(); </script> </head> <body> </body> </html>

输出结果：
解析几何圆的方程+定积分+JavaScript计算圆周率_第1张图片

由于我们只能得到近似值，所以得到的圆周率和实际情况有差异。如果将半圆分得越细，那么得到的近似值越接近真实值。

该方法由本人自行研发，所以可能存在不足之处，如果大家知道更好的方式来求解圆周率，欢迎分享交流。

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