第一遍 第二章算法

算法：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作

算法的特性：

1）输入输出 算法具有零个或多个输出，至少有一个或多个输出

2）有穷性：指算法在执行有限的步骤之后自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成

3）确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性

4）可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成

算法设计的要求：
1）正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反应问题的需求、能够得到问题的正确答案。

2）可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读，理解和交流。

3）健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名奇妙的结果。

4）时间效率高和存储量低：设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求。

算法效率的度量方法：

1）事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低

2）事前分析的估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。

一个程序的运行时间依赖于算法的好坏和问题的输入规模，问题的输入国模指的是输入量的多少。

最终，在分析程序的运行时间时，最重要的是把程序看成是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤。

函数的渐进增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N都有f(n)大于g(n)，name我们说f(n)的增长渐进快于g(n);

同时可以发现随着n的增大，

1）加法常数可以忽略

2）与最高次项相乘的常数并不重要

3）最高次项指数大的，结果增长的特别快

判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。

可以总结出：一个算法随着n的增大它会越来越优于或差于另一算法。

算法的时间复杂度：

在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）是关于问题规模n的函数，进而分析T（n）随n的变化情况并确定T（n）的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作

T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法成为最优算法。

O(1)----常数阶

O(n)----线性阶

O(n2)----平方阶

推导大O阶方法

1）用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3）如果最高阶项存在切不是1，则去除与这个项相乘的常数。

得到的结果结果就是大O阶。

2.9.3 常数阶

无论这个常数是多少，我们都记作O(1)

对于分支结构，无论是真是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，因此其时间复杂度也是O(1)。

2.9.4 线性阶

要分析算法的复杂度，关键是要分析循环结构的运行情况。

2.9.5 对数阶

   
   
   
   

    
    
    
    
 
     int count =1; 
    
    
    
    
    
 
     while ( count < n ) { 
    
    
    
    
    
 
      count = count * 2; 
    
    
    
    
    
 
     } 
    
   
   
   
   

这个程序每执行一次，count的值增大一倍，同时也会逐渐接近n，

可列出等式

2^x=n

x=log2n

因此其时间复杂度为O(logn)

2.9.6 平方阶

如果二重循环 外循环次数为m，内循环次数为n，则其时间复杂度为O(mxn)

2.10 常见的时间复杂度

常见的时间复杂度所耗费的时间从小到达依次是

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)

2.11 最坏情况和平均情况

最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了，在应用中，这是一种最重要的需求，通常除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

平均查找时间一般取在n/2次后发现这个目标元素的时间。

平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为他是期望的运行时间。

算法的空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：“

S(n)=O(f(n))

其中n为问题的规模，f(n)为语句关于N所占存储空间的函数