Koch snowflake fractal (科赫雪花分形)

瑞典人科赫于1904年提出了著名的“雪花”曲线，这种曲线的作法是，从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间长度为底边。分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉，这样就得到一个六角形，它共有12条边。再把每条边三等份，以各中间部分的长度为底边，向外作正三角形后，抹掉底边线段。反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线。这曲线叫做科赫曲线或雪花曲线。

　　反复进行这一作图过程，得到的曲线越来越精细。

　　科赫曲线有着极不寻常的特性，不但它的周长为无限大，而且曲线上任两点之间的距离也是无限大。该曲线长度无限，却包围着有限的面积。

        很神奇的一个曲线，他说明了一个悖论：“无限长度包围着有限面积。”

分形

分形通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”^[1]，即具有自相似的性质。分形思想的根源可以追溯到公元17世纪，而对分形使用严格的数学处理则是始于一个世纪后卡尔·魏尔施特拉斯、格奥尔格·康托尔和费利克斯·豪斯多夫对连续而不可微函数的研究。但是分形（fractal）一词直到1975年才由本华·曼德博创造出，来自拉丁文 frāctus，有“零碎”、“破裂”之意。一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统^[2]。分形有几种类型，可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。虽然分形是一个数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用

分形几何学

在二十世纪七十年代，法国数学家芒德勃罗(B.B.Mandelbrot)在他的著作中探讨了“英国的海岸线有多长”这个问题。这依赖于测量时所使用的尺度。
　　如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。
　　数学家柯赫(Koch)从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是“Koch岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。
　　这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。