何为仿射变换(Affine Transformation)

仿射变换(Affine Transformation)

Affine Transformation是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换,保持二维图形的“平直性”(译注:straightness,即变换后直线还是直线不会打弯,圆弧还是圆弧)和“平行性”(译注:parallelness,其实是指保二维图形间的相对位置关系不变,平行线还是平行线,相交直线的交角不变。)。仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现,包括:平移(Translation)、缩放(Scale)、翻转(Flip)、旋转(Rotation)和剪切(Shear)。

此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示,其最后一行为(0, 0, 1)。该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y'),这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量,原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量:

[x']= [m00 m01 m02] [x] = [m00*x+m01*y+m02]

[y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12]

[1 ]   [ 0   0   1 ] [1]   [ 1 ]

用代数式表示如下:

x’= m00*x+m01*y+m02;

y’= m10*x+m11*y+m12;

如果将它写成按旋转、缩放、平移三个分量的复合形式,则其代数式如下:

X= (x-x0)cosθ+(y-y0)sinθ+x0
Y=-(x-x0)sinθ+(y-y0)cosθ+y0

其示意图如下:

何为仿射变换(Affine Transformation)_第1张图片

几种典型的仿射变换:


何为仿射变换(Affine Transformation)_第2张图片


public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)

平移变换,将每一点移动到(x+tx, y+ty),变换矩阵为:
[ 1 0 tx ]
[ 0 1 ty ]
[ 0 0 1 ]
(译注:平移变换是一种“刚体变换”,rigid-body transformation,中学学过的物理,都知道啥叫“刚体”吧,就是不会产生形变的理想物体,平移当然不会改变二维图形的形状。同理,下面的“旋转变换”也是刚体变换,而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。)

public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)

缩放变换,将每一点的横坐标放大(缩小)至sx倍,纵坐标放大(缩小)至sy倍,变换矩阵为:
[ sx 0 0 ]
[ 0 sy 0 ]
[ 0 0 1 ]

public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)

剪切变换,变换矩阵为:
[ 1 shx 0 ]
[ shy 1 0 ]
[ 0 0 1 ]
相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合
[ 1 0 0 ][ 1 shx 0 ]
[ shy 1 0 ][ 0 1 0 ]
[ 0 0 1 ][ 0 0 1 ]
(译注:“剪切变换”又称“错切变换”,指的是类似于四边形不稳定性那种性质,街边小商店那种铁拉门都见过吧?想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程,那就是“错切”的过程。)

public static AffineTransform getRotateInstance(double theta)

旋转变换,目标图形围绕原点顺时针旋转theta弧度,变换矩阵为:
[ cos(theta) -sin(theta) 0 ]
[ sin(theta) cos(theta) 0 ]
[ 0 0 1 ]

public static AffineTransform getRotateInstance(double theta, double x, double y)

旋转变换,目标图形以(x, y)为轴心顺时针旋转theta弧度,变换矩阵为:
[ cos(theta) -sin(theta) x-x*cos+y*sin]
[ sin(theta) cos(theta) y-x*sin-y*cos]
[ 0 0 1 ]
相当于两次平移变换与一次原点旋转变换的复合:
[1 0 -x][cos(theta) -sin(theta) 0][1 0 x]
[0 1 -y][sin(theta) cos(theta) 0][0 1 y]
[0 0 1 ][ 0 0 1][0 0 1]


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