0-1背包、多重背包、钢条问题分析

0-1背包、多重背包、钢条问题这都是属于动态规划的范畴。

0-1钢条问题
问题描述：给定一段长度为n的钢条和一个价格表p(i)(i=1,2,3,4…n),p(i)表示长度为i的钢条的价格，求切割方案，使得收益r(n)最大。
很显然我们可以通过更短钢条的收益来描述r(n)，r(n)=max{r(n-1)+r(1),r(n-1)+r(2),…,r(1)+r(n-1)}

代码描述：

static int n;//钢条长度
static int p[];//价格表，p[i]：长度为i的钢条的价格
static int r[];//r[i]:长度为i的钢条的最大收益

1、求最大收益
自顶向下

static int r(int n)
	{
		if(n==0) return 0;
		int q=-1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			q=Math.max(q, r(n-i)+p[i]);
		}
		return q;
	}

缺点：对某些子问题进行多次反复的求解，大大增加了运行时间

自底向上

static void r()
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			r[i]=0;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=i;j++){
				r[i]=Math.max(r[i],r[i-j]+p[j]);
			}
		}
	}

2、求具体的切割方案

static int[] s;//s[i]:长度为i的钢条切割的第一根钢条的长度
	static void r1()
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			r[i]=0;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=i;j++)
			{
				if(r[i]<r[i-j]+p[j])
				{
					r[i]=r[i-j]+p[j];
					s[i]=j;
				}
			}
		}
		//打印出切割方案
		while(n>0)
		{
			System.out.print(s[n]+" ");
			n=n-s[n];
		}
	}

0-1背包问题
为题描述：给定一个背包，容量为n，有编号为1~m的不同的石头各一块，每种石头有着各自的体积和重量，现在需要将石头放到背包中，问怎样使背包中装下重量最多的石头。
dp[i,j]为只考虑编号1~i的石头，在容量为j时可以到达的最大的重量，v[i]为编号为i的是有的所占的体积，w[i]为编号为i的石头的重量。可的总结出以下公式

这个公式类似于 LCS的公式，所以该问题的解决方法也和LCS差不多。
代码模板：

static int n;//背包容量
static int m;//石头的总数量
static int v[];//v[i]：编号为i的石头的体积
static int w[];//w[i]：编号为i的石头的重量
static int dp[][];//dp[i][j]:只考虑第编号为1~i的石头，当剩余空间为j时，能达到的最大的重量

1、求能装的最大重量
自顶向下

static int dp(int m,int n)//n:剩余容量，m：只考虑编号为1~m的石头
	{
		if(n==0) return 0;
		if(m==0) return 0;
		if(n<v[m]) return dp(m-1, n);//剪枝
		return Math.max(dp(m-1,n-v[m]),dp(m-1,n));
	}

自底向上

static void dp(){
		for(int i=0;i<=m;i++)
		{
			dp[i][0]=0;
		}
		for(int j=0;j<=n;j++)
		{
			dp[0][j]=0;
		}
		for(int i=1;i<=m;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				if(j<v[i])
				{
					dp[i][j]=dp[i-1][j];
				}
				else
				{
					dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j-v[i]]+w[i],dp[i-1][j]);
				}
			}
		}
	}

2、求具体需要哪些编号的石头

static void print_dp()
	{
		int j=n;
		int s[]=new int[m+1];
		for(int i=m;i>=1;i--)
		{
			if(j<v[i])
			{
				break;
			}
			if(dp[i-1][j-v[i]]+w[i]>dp[i-1][j])
			{
				j=j-v[i];
				s[i]=1;
			}
		}
		//打印出用到的石头编号
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			if(s[i]==1)
			{
				System.out.print(i+" ");
			}
		}
	}

多重背包
问题描述：给定一个背包，容量为n，有编号为1~m的不同的石头，不同编号的石头有着各自的数目，重量，体积，现在需要将石头放到背包中，问怎样使背包中装下重量最多的石头。
代码模板：

static int n;//背包的容量
static int m;//背包的种类数
static int[] v;//v[i]：编号为i的石头的体积
static int[] w;//w[i]：编号为i的石头的重量
static int[] a;//a[i]：编号为i的石头的数目
static int[][] dp;//dp[i][j]：只考虑编号为1~i的石头，若剩余空间为j，所能达到的最大重量

1、求能装的最大的重量
自顶向下

static int dp(int n,int m)//n:剩余容量，m：只考虑编号为1~m的石头
	{
		if(n==0) return 0;
		if(m==0) return 0;
		int tmp=-1;
		for(int i=0;i<=a[m];i++)
		{
			if(n<v[m]*i)
			{
				break;
			}
			if(dp(n-i*v[m],m-1)>tmp)
			{
				tmp=dp(n-i*v[m],m-1)+i*w[i];
			}
		}
		return tmp;
	}

自底向上

static void dp()
	{
		int tmp;
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			tmp=-1;
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				for(int k=0;k<=a[i];k++)
				{
					if(j<k*v[i])
					{
						break;
					}
					if(dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]>tmp)
					{
						tmp=dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i];
						//j=j-k*v[i];
					}
				}
				dp[i][j]=tmp;
			}
		}
	}

2、求具体需要哪些石头和对应的数目

static void print_dp()
	{
		int tmp=-1;
		int j=n;
		int s[]=new int[m+1];//s[i]：编号为i的石头需要的数目
		for(int i=m;i>=1;i--)
		{
			for(int k=0;k<=a[i];k++)
			{
				if(j<k*v[i])
				{
					break;
				}
				if(dp[i-1][j-v[i]*k]+k*w[i]>tmp)
				{
					tmp=dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i];
					j=j-k*v[i];
					s[i]=k;
				}
			}
		}
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			System.out.print(s[i]+" ");
		}
	}