kd-tree讲解 & bzoj 2648 & 2716 & 3053 题解

【KD-TREE介绍】在SYC1999大神的“蛊惑”下，我开始接触这种算法。

首先，大概的概念可以去百度百科。具体实现，我是看RZZ的代码长大的。

我们可以想象在平面上有N个点。首先，按横坐标排序找到最中间的那个点。然后水平划一条线，把平面分成左右两个部分。再递归调用左右两块。注意，在第二次（偶数次）调用的时候，是找到纵坐标中最中间的点，并垂直画一条线。

这样效率看上去很好。维护的时候有点像线段树。每个点记录它的坐标、它辖管的区间4个方向的极值、它的左右（或上下）的两个点的标号。递归两个子树时，注意要up更新这个点辖管的范围。

inline int cmp(arr a,arr b){return a.d[D]<b.d[D]||a.d[D]==b.d[D]&&a.d[D^1]<b.d[D^1];}
inline void up(int k,int s)
{
  a[k].min[0]=min(a[k].min[0],a[s].min[0]);
  a[k].max[0]=max(a[k].max[0],a[s].max[0]);
  a[k].min[1]=min(a[k].min[1],a[s].min[1]);
  a[k].max[1]=max(a[k].max[1],a[s].max[1]);
}
int build(int l,int r,int dd)
{
  D=dd;int mid=(l+r)>>1;
  nth_element(a+l+1,a+mid+1,a+r+1,cmp);
  a[mid].min[0]=a[mid].max[0]=a[mid].d[0];
  a[mid].min[1]=a[mid].max[1]=a[mid].d[1];
  if (l!=mid) a[mid].l=build(l,mid-1,dd^1);
  if (mid!=r) a[mid].r=build(mid+1,r,dd^1);
  if (a[mid].l) up(mid,a[mid].l);
  if (a[mid].r) up(mid,a[mid].r);
  return mid;
}

介绍一下nth_element这个STL。头文件就是algorithm。它相当于快排的一部分，调用格式如上。意思是把第MID个数按cmp放在中间，把比mid“小”的数放在左边，否则放在右边。（注意：不保证左边和右边有序）

上述代码很好理解。

然后先在我要支持加入点，也是类似于线段树的思想：

void insert(int k)
{
  int p=root;D=0;
  while (orzSYC)
  {
    up(p,k);
    if (a[k].d[D]<=a[p].d[D]){if (!a[p].l) {a[p].l=k;return;} p=a[p].l;}
    else {if (!a[p].r) {a[p].r=k;return;} p=a[p].r;}
    D^=1;
  }
}

为什么我忽然觉得是splay的insert操作？就是每次往某个点的左或右（或者上或下）过去。

比如我们要查询与（x，y）最近的点（曼哈顿距离）与其的距离。

int getdis(int k)
{
  int res=0;
  if (x<a[k].min[0]) res+=a[k].min[0]-x;
  if (x>a[k].max[0]) res+=x-a[k].max[0];
  if (y<a[k].min[1]) res+=a[k].min[1]-y;
  if (y>a[k].max[1]) res+=y-a[k].max[1];
  return res;
}
void ask(int k)
{
  int d0=abs(a[k].d[0]-x)+abs(a[k].d[1]-y);
  if (d0<ans) ans=d0;
  int dl=(a[k].l)?getdis(a[k].l):INF;
  int dr=(a[k].r)?getdis(a[k].r):INF;
  if (dl<dr){if (dl<ans) ask(a[k].l);if (dr<ans) ask(a[k].r);}
  else {if (dr<ans) ask(a[k].r);if (dl<ans) ask(a[k].l);}
}

getdis有点像Astar中的“估价函数”。计算（x，y）与当前点范围的差距有多少，然后按顺序遍历左二子和右儿子。这样，如果更新到最优值，就能及时退出。这种算法在随机数据上是lg的，但是在构造数据上约是sqrt的。

【BZOJ2716&2648】双倍经验。就是裸的K-D TREE模板套套。无压力1A~。

【BZOJ3053】哎，说多了都是泪。这道题调了不知道多少时间。首先，它拓展到了K维空间上。这样，cmp就只需判断某一位的大小就行了。然后要查询前m优值。因为m<=10，我为了效率，直接一遍做，开了一个数组记录最优值。然后判断最优值的时候裸O(n)（均摊）的更新答案。

对于那个估计函数也要稍稍改一下（因为是欧几里得距离），怎么方便怎么来！（反正只会影响到效率）

调了半天后，总算小数据对拍没有问题了~~浪交！T了。。。

后来我估计在更新答案时速度太慢，于是一咬牙，把10个最优解开成了队列......

然后大数据对拍~~什么，秒WA？这下真的调了一个下午（因为我是刚学的），后来发现：RZZ的博客里的nth过程用错了。比如从l到r，中间是mid（默认数组下标从1开始），应该是a+l,a+mid,a+r+1。最后一个+1因为是虚指针。但是前面都不用+1的（上面的代码已经修改过了）！！！！

最后又是RE。果断要数据！——发现只有一个测试点。我先写了个程序，把测试点拆成了好几个。然后一测：全过！和在一起：RE！原来，l和r要及时清零！！！呵呵，多么痛的领悟！

【截取程序】

var
  ss:string;
  cnt,n,m,a,i,j:longint;
begin
  assign(input,'T.in');
  reset(input);
  while (not(eof)) do
    begin
      inc(cnt);
      str(cnt,ss);
      ss:='T'+ss+'.in';
      assign(output,ss);
      rewrite(output);
      readln(n,m);
      writeln(n,' ',m);
      for i:=1 to n do
        begin
          for  j:=1 to m do
            begin
              read(a);
              write(a,' ');
            end;
          writeln;
        end;
      readln(n);
      writeln(n);
      for i:=1 to n do
        begin
          for j:=1 to m do
            begin
              read(a);
              write(a,' ');
            end;
          writeln;
          read(a);
          writeln(a);
        end;
      close(output);
    end;
end.

【对拍造数据】

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
using namespace std;
int main()
{
  freopen("T.in","w",stdout);
  srand((int)time(0));
  int n=50000,m=4,i,j;
  printf("%d %d\n",n,m);
  for (i=1;i<=n;i++)
  {
    for (j=1;j<=m;j++)
      printf("%d ",rand()%10000+1);
    printf("\n");
  }
  int Q=1000;
  printf("%d\n",Q);
  while (Q--)
  {
    for (i=1;i<=m;i++)
      printf("%d ",rand()%10000+1);
    printf("%d\n",rand()%5+1);
  }
  return 0;
}

【AC代码】

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define N 50005
#define INF 21390627567143.0
using namespace std;
const int orzSYC=1;
struct arr
{
  int d[5],max[15],min[15],l,r,id;
  arr() {l=0;r=0;id=0;}
}a[N*4],aa[N];
struct pop
{
  double x;int id;
  friend bool operator < (const pop &a,const pop &b){return a.x<b.x;}
};
priority_queue<pop>ans;
int n,m,Q,i,j,t,x[15],D,temp[21],root,opt,P,flag;
inline int Read()
{
  int x=0;char ch=getchar();bool positive=1;
  for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') positive=0;
  for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
  return positive?x:-x;
}
inline int cmp(arr a,arr b)
{
  return a.d[D]<b.d[D];
}
inline void up(int k,int s)
{
  for (int i=0;i<m;i++)
  {
    a[k].min[i]=min(a[k].min[i],a[s].min[i]);
    a[k].max[i]=max(a[k].max[i],a[s].max[i]);
  }
}
int build(int l,int r,int dd)
{
  D=dd;int mid=((l+r)>>1);
  nth_element(aa+l,aa+mid,aa+r+1,cmp);
  for (int i=0;i<m;i++)
    a[mid].min[i]=a[mid].max[i]=a[mid].d[i]=aa[mid].d[i];
  a[mid].id=mid;
  if (l<mid) a[mid].l=build(l,mid-1,(dd+1)%m);else a[mid].l=0;
  if (mid<r) a[mid].r=build(mid+1,r,(dd+1)%m);else a[mid].r=0;
  if (a[mid].l) up(mid,a[mid].l);
  if (a[mid].r) up(mid,a[mid].r);
  return mid;
}
inline double sdis(int k)
{
  double res=0;
  for (i=0;i<m;i++)
  {
    res+=(a[k].d[i]-x[i])*(a[k].d[i]-x[i]);
  }
  return res;
}
void ask(int k,int deep)
{
  int L=a[k].l,R=a[k].r;
  if (x[deep]>=a[k].d[deep]) swap(L,R);
  double now=sdis(k);
  if (L) ask(L,(deep+1)%m);
  int flag=0;
  if (ans.size()<P) {ans.push((pop){now,k});flag=1;}
  else
  {
    if (now<ans.top().x) ans.pop(),ans.push((pop){now,k});
    if ((x[deep]-a[k].d[deep])*1.*(x[deep]-a[k].d[deep])<ans.top().x) flag=1;
  }
  if (flag&&R) ask(R,(deep+1)%m);
}
int main()
{
  while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
  {
    for (i=1;i<=n;i++) 
      for (j=0;j<m;j++)
        aa[i].d[j]=Read();
    root=build(1,n,0);
    Q=Read();
    while (Q--)
    {
      for (i=0;i<m;i++) x[i]=Read();
      P=Read();
      ask(root,0);int wri=0;
      printf("the closest %d points are:\n",P);
      while (!ans.empty())
      {
        temp[++wri]=ans.top().id;
        ans.pop();
      }
      for (i=wri;i;i--)
      {
        for (j=0;j<m-1;j++)
          printf("%d ",a[temp[i]].d[j]);
        printf("%d\n",a[temp[i]].d[m-1]);
      }
    }
  }
  return 0;