[从头学数学] 第154节 圆

剧情提要：
[机器小伟]在[工程师阿伟]的陪同下进入了筑基后期的修炼，
这次要修炼的目标是[圆]。

正剧开始：

星历2016年03月28日 07:41:05, 银河系厄尔斯星球中华帝国江南行省。
[工程师阿伟]正在和[机器小伟]一起研究[圆]。

接着[人叫板老师]提到了怎样画圆：

对于画圆，小伟有自己的方法：

<span style="font-size:18px;">		//画圆
		var r = 20;  
		var r0 = 5*r;
        config.setSector(1,1,1,1);    
        config.graphPaper2D(0, 0, r);  
		config.axis2D(0, 0, 180);
		
		var triangle = new Triangle();
		var transform = new Transform();
		
		config.setSector(1,2,1,1);   
		shape.fillCircle(0, 0, 5*r);
		
		config.setSector(1,2,1,2);   
		shape.fillDraw(shape.nEdge(0, 0, 5*r, 36), 'red');</span>

左边的是直接调用画圆API， 右边的是36边的正多边形，看上去没有任何差别是吧。

不过用正多边形可以得到点的坐标阵列的。

下面阿伟看到了曾经学习过的《赵州桥》。

难怪这座桥梁这么漂亮又耐用，原来它的拱是一个90度的圆心角对应的圆弧。

主桥拱半径是26.16米。

怎样求三角形的外心呢？

小伟是这样做的：

<span style="font-size:18px;">		//求三角形的外心
		var r = 20;  
		var r0 = 5*r;
        config.setSector(1,1,1,1);    
        config.graphPaper2D(0, 0, r);  
		config.axis2D(0, 0, 180);
		
		var triangle = new Triangle();
		var transform = new Transform();
		
		//已知三角形边长
		var a = 3, b = 4, c = 5;
		//得到三角形顶点阵列
		var array = triangle.know3edges([a, b, c]);
		
		//进行缩放转换
		array = transform.scale(array, r);
		
		//三个顶点
		var x1 = array[0][0], y1 = array[0][1],
			x2 = array[1][0], y2 = array[1][1],
			x3 = array[2][0], y3 = array[2][1];
			
		//令
		var A1 = 2*(x2-x1), B1 = 2*(y2-y1), C1 = x2*x2+y2*y2-x1*x1-y1*y1,
			A2 = 2*(x3-x2), B2 = 2*(y3-y2), C2 = x3*x3+y3*y3-x2*x2-y2*y2;
			
		//得到外心的坐标
		var px = ((C1*B2)-(C2*B1))/((A1*B2)-(A2*B1)),
			py = ((A1*C2)-(A2*C1))/((A1*B2)-(A2*B1));
			
		//外接圆半径
		var rOut = a*b*c/Math.sqrt(4*b*b*c*c-Math.pow((b*b+c*c-a*a), 2));
		rOut *= r;
			
		//document.write(px.toFixed(2)+', '+py.toFixed(2)+'; ' + rOut.toFixed(2));
		shape.strokeDraw([].concat(array), 'red');
		shape.strokeCircle(px, -py, rOut);</span>

来看看效果吧，比如我们知道了一个三条边长分别为3, 4, 5的三角形，它的外接圆：

那如果它的边长为15, 18, 21呢？

<span style="font-size:18px;">		//求三角形的外心
		var r = 20;  
		var r0 = 5*r;
        config.setSector(1,1,1,1);    
        config.graphPaper2D(0, 0, r);  
		config.axis2D(0, 0, 180);
		
		var triangle = new Triangle();
		var transform = new Transform();
		
		//已知三角形边长
		var a = 15, b = 18, c = 21;
		//得到三角形顶点阵列
		var array = triangle.know3edges([a, b, c]);
		
		//进行缩放转换
		array = transform.scale(array, r/2);
		
		//三个顶点
		var x1 = array[0][0], y1 = array[0][1],
			x2 = array[1][0], y2 = array[1][1],
			x3 = array[2][0], y3 = array[2][1];
			
		//令
		var A1 = 2*(x2-x1), B1 = 2*(y2-y1), C1 = x2*x2+y2*y2-x1*x1-y1*y1,
			A2 = 2*(x3-x2), B2 = 2*(y3-y2), C2 = x3*x3+y3*y3-x2*x2-y2*y2;
			
		//得到外心的坐标
		var px = ((C1*B2)-(C2*B1))/((A1*B2)-(A2*B1)),
			py = ((A1*C2)-(A2*C1))/((A1*B2)-(A2*B1));
			
		//外接圆半径
		var rOut = a*b*c/Math.sqrt(4*b*b*c*c-Math.pow((b*b+c*c-a*a), 2));
		//与顶点矩阵相同的变换
		rOut*=r/2;
		//document.write(px.toFixed(2)+', '+py.toFixed(2)+'; ' + rOut.toFixed(2));
		shape.angleDraw([].concat(array), 'red');
		shape.strokeCircle(px, -py, rOut);</span>

那么怎样求三角形的内心呢？

小伟是这样做的：

<span style="font-size:18px;">		//求三角形的内心
		var r = 20;  
		var r0 = 5*r;
        config.setSector(1,1,1,1);    
        config.graphPaper2D(0, 0, r);  
		config.axis2D(0, 0, 180);
		
		var triangle = new Triangle();
		var transform = new Transform();
		
		//已知三角形边长
		var a = 15, b = 18, c = 21;
		//与公式的映射关系：
		//AB=a, BC=b, CA=c;
		//BC=a, CA=b, AB=c;
		
		//得到三角形顶点阵列，注意三条边的给定顺序，如果不对要调整
		var array = triangle.know3edges([c, b, a]);
		
		//进行缩放转换
		array = transform.scale(array, r/2);
		
		//三个顶点
		var x1 = array[0][0], y1 = array[0][1],
			x2 = array[1][0], y2 = array[1][1],
			x3 = array[2][0], y3 = array[2][1];
			
			
		//得到内心的坐标
		var px = (a*x1+b*x2+c*x3)/(a+b+c),
			py = (a*y1+b*y2+c*y3)/(a+b+c);
			
		//内切圆半径
		var S = Math.sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(a+c-b)*(b+c-a));
		var rIn = S/(a+b+c)/2;
		//与顶点矩阵相同的变换
		rIn*=r/2;
		//document.write(px.toFixed(2)+', '+py.toFixed(2)+'; ' + rOut.toFixed(2));
		shape.angleDraw([].concat(array), 'red');
		shape.strokeCircle(px, -py, rIn);</span>

再试一次：

<span style="font-size:18px;">		//六角亭例题
		var r = 20;  
        config.setSector(1,1,1,1);    
        config.graphPaper2D(0, 0, r);  
		config.axis2D(0, 0, 180);
		
		var triangle = new Triangle();
		var transform = new Transform();
		
		var array = shape.nEdge(0, 0, 4, 6);
		shape.angleDraw(array, 'red', r);
</span>

下面小伟想来设计一下这条跑道：

<span style="font-size:18px;">		//设计跑道
		var r = 25;  
        config.setSector(1,1,1,1);    
        config.graphPaper2D(0, 0, r);  
		config.axis2D(0, 0, 180);
		
		var triangle = new Triangle();
		var transform = new Transform();
		
		var scale = 3;
		
		var r0 = 100/Math.PI;
		var parts = 36;
		var array = shape.nEdge(0, 0, r0, parts);
		var array_part1 = array.slice(0, parts/2+2),
			array_part2 = array.slice(parts/2, parts);
		array_part2 = array_part2.concat(array.slice(0,2));
			
		array_part1 = transform.translate(array_part1, 50, 0);
		array_part2 = transform.translate(array_part2, -50, 0);
			
		var rect = [[-50, -r0], [50, -r0], [50, r0], [-50, r0]];
		shape.multiLineDraw(array_part1, 'red', scale);
		shape.multiLineDraw(array_part2, 'red', scale);
		shape.strokeDraw(rect, 'red', scale);
		
		for (var i = 2; i < 8; i+=2) {
			r0 = (100+4*i)/Math.PI;
			
			array = shape.nEdge(0, 0, r0, parts);
			array_part1 = array.slice(0, parts/2+2),
			array_part2 = array.slice(parts/2, parts);
			array_part2 = array_part2.concat(array.slice(0,2));
				
			array_part1 = transform.translate(array_part1, 50, 0);
			array_part2 = transform.translate(array_part2, -50, 0);
			
			rect = [[-50, -r0], [50, -r0], [50, r0], [-50, r0]];
			shape.multiLineDraw(array_part1, 'blue', scale);
			shape.multiLineDraw(array_part2, 'blue', scale);
			shape.strokeDraw(rect, 'blue', scale);
		}
		
		r0 = 100/Math.PI;
		var startPoints = [[-50, -r0-0.5]];
		
		var x = -50, y = -r0-0.5;
		
		for (var i = 0; i < 8; i++) {
			x += 6.28;
			y -= 1;
			startPoints.push([x, y]);
		}
		
		shape.pointDraw(startPoints, 'red', scale);</span>

这条跑道的直线部分是100米长，每个半圆的圆周也是100米长，每两条跑道的起点相差是6.28米。

终点线在左边的竖直蓝线处。

但是这里面还有一些小问题，小伟还没想明白。

四点共圆，应该是对角和为180度。

本节到此结束，欲知后事如何，请看下回分解。