神经网络为什么要有激活函数，为什么relu 能够防止梯度消失

第一个问题：为什么引入非线性激励函数？
如果不用激励函数（其实相当于激励函数是f(x) = x），在这种情况下你每一层输出都是上层输入的线性函数，很容易验证，无论你神经网络有多少层，输出都是输入的线性组合，与只有一个隐藏层效果相当，这种情况就是多层感知机（MLP）了。
正因为上面的原因，我们决定引入非线性函数作为激励函数，这样深层神经网络就有意义了（不再是输入的线性组合，可以逼近任意函数）。最早的想法是sigmoid函数或者tanh函数，输出有界，很容易充当下一层输入（以及一些人的生物解释balabala）。

第二个问题：为什么引入Relu呢？
第一，采用sigmoid等函数，反向传播求误差梯度时，求导计算量很大，而Relu求导非常容易。
第二，对于深层网络，sigmoid函数反向传播时，很容易就会出现梯度消失的情况（在sigmoid接近饱和区时，变换太缓慢，导数趋于0），从而无法完成深层网络的训练。
第三，Relu会使一部分神经元的输出为0，这样就造成了网络的稀疏性，并且减少了参数的相互依存关系，缓解了过拟合问题的发生（以及一些人的生物解释balabala）。

首先，我们使用mnist数据库做个测试，建立一个10层的神经网络，每层的平均梯度幅度如下：
epoch:1 iteration:10/300
3.23e-07 8.3215e-07 3.3605e-06 1.5193e-05 6.4892e-05 0.00027249 0.0011954 0.006295 0.029835 0.12476 0.38948
epoch:1 iteration:20/300
4.4649e-07 1.3282e-06 5.6753e-06 2.5294e-05 0.00010326 0.00043651 0.0019583 0.0096396 0.040469 0.16142 0.5235
可以看到，最开始的几层只有1e-6到1e-7这个量级的梯度，基本上梯度在最后3层就已经饱和了。使用SGD等算法的话，前边几层的参数在梯度下降的时候几乎没有得到改变，自始至终都是随机值。
而使用ReLU呢：
epoch:1 iteration:10/300
0.68193 0.47672 0.48507 0.48 0.49133 0.47511 0.45136 0.48241 0.50238 0.62887 3.7748
epoch:1 iteration:20/300
0.49834 0.3182 0.26373 0.23835 0.23295 0.2293 0.2558 0.27504 0.29768 0.36264 0.51806
可以看到，梯度的scale几乎没什么变化。
最近Google的论文Batch Normalization[1]解决了sigmoid的saturate问题，但效果仍然没有ReLU好，证明ReLU至少在图像分类问题上是比sigmoid更接近本质的，至于这个本质是什么，现在还不得而知。
是因为 上边说的稀疏性吗？MSRA的论文Parametric ReLU[2]否定了这个说法，非稀疏的激活函数能得到更好的效果。所以，这个问题只能等大神们的进一步分析了。

参考文献：
[1] Sergey Ioffe , Christian Szegedy . Batch Normalization Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shift .
[2] Kaiming He , Xiangyu Zhang , Shaoqing Ren , Jian Sun . Delving Deep into Rectifiers: Surpassing Human-Level Performance on ImageNet Classification .