原根与离散对数
概念１：原根
欧拉定理：
设m是大于1的整数,（a,m）=1,则a^φ(m)=1(mod m). 注:(a,m)表示a和m的GCD.
也就是说，若（a,m）=1,m>1,则至少存在一个正整数r,满足a^r=1(mod m).
指数的定义：
若m>1,(a,m)=1,则使得同余式a^r=1(mod m)成立的最小正整数r叫做a对于模m的指数(阶),记r为ordm(a).
定理1:若(a,m)=1,m>0,则x是 a^x=1(mod m) 的解的充要条件是：ordm(a)|x.
定理2:若(a,m)=1,m>0,则a^i=a^j(mod m),当且仅当i=j(mod ordm(a)),其中i,j是非负整数.
推论：若(a,m)=1,m>0,则ordm(a)|φ(m).
原根的定义：
若(a,m)=1,m>0,且ordm(a)=φ(m),则a称为模m的一个原根.
注：并不是所有的模m都存在原根.
指数的性质：
性质1:若x对于模m的指数是ab,a>0,b>0,则x^a对于模m的指数是b.
性质2:若x对于模m的指数是a,y对于模m的指数是b，并且(a,b)=1,1),则xy对于模m的指数是ab.
原根的性质:
性质1: 若 (a,m)=1,m>0,如果a是模m的一个原根，则a^0,a^1,a^2…,a^ φ(m)构成模m的简化剩余类 .推论: 若a是模m的一个原根, m为整数且m>1, 则a^u是模m的一个原根的充要条件是(u,φ(m))=1.
原根存在的条件：模m为1, 2, 4, p^t, 2p^t，其中p为奇质数，t为正整数时，此模m才有原根。
原根求法：
问题：求一个mod p意义下的原根（p为素数）
原理：由于最小原根通常较小, 可以通过从小到大枚举正整数来快速寻找一个原根.
对p-1的每个素因子a，检查g^((p-1)/a)=1(mod p)是否成立，如果成立则说明不是原根
模板：
//求原根
vector<LL>a;
bool g_test(LL g,LL p)
{
for(LL i=0;i<a.size();i++)
{
if(pow_mod(g,(p-1)/a[i],p)==1)
return 0;
}
return 1;
}
LL primitive_root(LL p)
{
LL tmp=p-1;
a.clear();
for(LL i=2;i<=tmp/i;i++)
{
if(tmp%i==0)
{
a.push_back(i);
while(tmp%i==0)
tmp/=i;
}
}
if(tmp!=1)
a.push_back(tmp);
LL g=1;
while(true)
{
if(g_test(g,p))
return g;
g++;
}
}
概念2：离散对数
部分转载自http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/9767947
离散对数是一种在整数中基于同余运算和原根的对数运算.
离散对数的定义：
设g是模m的一个原根，对已知的a，存在整数r，使得 g^r=a (mod m)成立,
则称r为以g为底的a对模m的一个离散对数。记作r=dlog(a)。
离散对数的性质：
当模
有原根时,设
为模的一个原根，则当
时，
。
此处的
是
以整数为底模
的离散对数值。
应用：
问题１：给定A,B,C,求同余方程
的解，其中是素数。
问题２：给定Ｘ,B,C,求同余方程的解，其中是素数。
分析：利用离散对数的知识，先求模的一个原根，那么就有。
对于，用Baby Step Giant Step能很好地解决.
那么这样我们再用扩展欧几里得算法可以计算出A或者
，快速幂再进一步求，所以就可以完美解决。
那么，如果为合数呢？
其实，如果为合数，我们要做的第一件事就是把素因子分解，即
，
那么我们分别计算
，然后用CRT(中国剩余定理)合并即可。
那么对于，有两种情况：
（1）
（2）
对于情况（1），我们就直接先求原根，然后利用离散对数来解决。
而对于情况（2），我们有
，这样就转化为情况（1）了。
假设对于每个的解的个数为
，那么方程的解的个数为
。
baba-step
LL pow_mod(LL a,LL p,LL n)
{
LL ans=1;
while(p)
{
if(p&1)
ans=(ans*a)%n;
p>>=1;
a=(a*a)%n;
}
return ans;
}
void gcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
if(!b) { d=a; x=1; y=0; }
else
{
gcd(b,a%b,d,y,x);
y-=x*(a/b);
}
}
LL inv(LL a,LL n)
{
LL d,x,y;
gcd(a,n,d,x,y);
return d==1 ? (x+n)%n : -1;
}
int log_mod(int a,int b,int n)
{
int m,v,e=1,i;
m=(int)sqrt(n+0.5);
v=inv(pow_mod(a,m,n),n);
map<int,int> x;
x[1]=0;
for(i=1;i<m;i++)
{
e=e*a%n;
if(!x.count(e))
x[e]=i;
}
for(int i=0;i<m;i++)
{
if(x.count(b))
return i*m+x[b];
b=b*v%n;
}
return -1;
}