关于欧拉函数的一个性质

昨天，有一个人过来问我，如何证明

∑d|nϕ(d)=n

毫无头绪，一群人乱搞乱搞，一个晚上都没证出来。于是决定组队去请(bei)教(diao)PhilipsWeng大犇。大犇愣了三秒（注意，3s），然后给出了一种高级的证法：
已知

ϕ(n)=∑i=1ne((i,n))

然后

e(n)=∑d|nμ(d)

所以

∑d|nϕ(d)=∑d|n∑i|dμ(i)⌊di⌋

=∑i|nμ(i)∑d′|nid′

=∑d′|nd′∑i|ndμ(i)

=n

看懂了之后，我突发奇想，想出了一种神奇的证明方法:
设 f(n)=∑d|nϕ(d) , n=∏ki=1peii
根据莫比乌斯反演的充分必要性， ϕ(n) 为积性函数， f(n) 也为积性函数（不要问我，问度娘）
所以

f(n)=∏i=1kf(peii)

然后

f(pk)=∑i=0kϕ(pi)

=1+∑i=1k(p−1)∗(pi−1)

=1+(p−1)∗pk−1p−1

=1+pk−1

=pk

所以

f(n)=∏i=1kpeii

=n

得证