最短路径算法—Dijkstra(迪杰斯特拉)算法分析与实现(C/C++)

最短路径算法—Dijkstra(迪杰斯特拉)算法分析与实现(C/C++)

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。 Dijkstra算法 能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

　　Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。

例如，对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。

Dijkstra算法的迭代过程：

主题好好理解上图！

以下是具体的实现(C/C++):

/* **************************************
* About:    有向图的Dijkstra算法实现
* Author:   Tanky Woo
* Blog:     www.WuTianQi.com
************************************** */
 
#include  < iostream >
using   namespace  std;
 
const   int  maxnum  =   100 ;
const   int  maxint  =   999999 ;
 
 
void  Dijkstra( int  n,  int  v,  int   * dist,  int   * prev,  int  c[maxnum][maxnum])
{
     bool  s[maxnum];     //  判断是否已存入该点到S集合中
     for ( int  i = 1 ; i <= n;  ++ i)
    {
        dist[i]  =  c[v][i];
        s[i]  =   0 ;      //  初始都未用过该点
         if (dist[i]  ==  maxint)
            prev[i]  =   0 ;
         else
            prev[i]  =  v;
    }
    dist[v]  =   0 ;
    s[v]  =   1 ;
 
     //  依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中
     //  一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度
     for ( int  i = 2 ; i <= n;  ++ i)
    {
         int  tmp  =  maxint;
         int  u  =  v;
         //  找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
         for ( int  j = 1 ; j <= n;  ++ j)
             if (( ! s[j])  &&  dist[j] < tmp)
            {
                u  =  j;               //  u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
                tmp  =  dist[j];
            }
        s[u]  =   1 ;     //  表示u点已存入S集合中
 
         //  更新dist
         for ( int  j = 1 ; j <= n;  ++ j)
             if (( ! s[j])  &&  c[u][j] < maxint)
            {
                 int  newdist  =  dist[u]  +  c[u][j];
                 if (newdist  <  dist[j])
                {
                    dist[j]  =  newdist;
                    prev[j]  =  u;
                }
            }
    }
}
 
void  searchPath( int   * prev, int  v,  int  u)
{
     int  que[maxnum];
     int  tot  =   1 ;
    que[tot]  =  u;
    tot ++ ;
     int  tmp  =  prev[u];
     while (tmp  !=  v)
    {
        que[tot]  =  tmp;
        tot ++ ;
        tmp  =  prev[tmp];
    }
    que[tot]  =  v;
     for ( int  i = tot; i >= 1 ;  -- i)
         if (i  !=   1 )
            cout  <<  que[i]  <<   "  ->  " ;
         else
            cout  <<  que[i]  <<  endl;
}
 
int  main()
{
    freopen( " input.txt " ,  " r " , stdin);
     //  各数组都从下标1开始
     int  dist[maxnum];      //  表示当前点到源点的最短路径长度
     int  prev[maxnum];      //  记录当前点的前一个结点
     int  c[maxnum][maxnum];    //  记录图的两点间路径长度
     int  n, line;              //  图的结点数和路径数
 
     //  输入结点数
    cin  >>  n;
     //  输入路径数
    cin  >>  line;
     int  p, q, len;           //  输入p, q两点及其路径长度
 
     //  初始化c[][]为maxint
     for ( int  i = 1 ; i <= n;  ++ i)
         for ( int  j = 1 ; j <= n;  ++ j)
            c[i][j]  =  maxint;
 
     for ( int  i = 1 ; i <= line;  ++ i)  
    {
        cin  >>  p  >>  q  >>  len;
         if (len  <  c[p][q])        //  有重边
        {
            c[p][q]  =  len;       //  p指向q
            c[q][p]  =  len;       //  q指向p，这样表示无向图
        }
    }
 
     for ( int  i = 1 ; i <= n;  ++ i)
        dist[i]  =  maxint;
     for ( int  i = 1 ; i <= n;  ++ i)
    {
         for ( int  j = 1 ; j <= n;  ++ j)
            printf( " %8d " , c[i][j]);
        printf( " \n " );
    }
 
    Dijkstra(n,  1 , dist, prev, c);
 
     //  最短路径长度
    cout  <<   " 源点到最后一个顶点的最短路径长度:  "   <<  dist[n]  <<  endl;
 
     //  路径
    cout  <<   " 源点到最后一个顶点的路径为:  " ;
    searchPath(prev,  1 , n);
}

输入数据:
5
7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
输出数据:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5