图论算法基础

【0】README

0.1）本文总结于 数据结构与算法分析， 旨在复习数据结构中图论算法的基础知识；

【1】图论若干相关定义

1.1）图G定义：一个图G=（V，E）由顶点及集V 和 边集E组成， 每一条边就是一个点对（v， w）；
1.2）边邻接：当且仅当（v，w）∈E， 在无向图中， w和v邻接，且v也和w邻接；（还有第3中成分：边的权值）
1.3）路径： 一条路径是一个顶点序列 w1， w2，…，wn， 使得（wi，wi+1）∈E，这样一条路径长是该路径上的边数；
1.4）简单路径：其上的所有顶点都是互异的，但第一个顶点和最后一个顶点可能相同；
1.5）连通图（对于无向图而言）： 如果在一个无向图中从每一个顶点到每个其他顶点都存在一条路径，则称该无向图是连通的；
1.6）强连通图（对于有向图而言）：具有无向图连通性质的有向图称为是强连通的；
1.7）基础图：去掉有向图上的方向所形成的图；
1.8）弱连通图：如果有向图不是强连通的， 但基础图是连通的， 那么该图称为是弱连通的；
1.9）完全图： 是指每一对顶点间都存在一条边的图；

【2】图的表示

2.1）邻接矩阵：对于每条边（u， v）， 我们设置 A[u][v]=1，否则数组的元素为0；如果边是有权的，设置A[u][v] 等于该权值 且用一个很大或者很小的权作为标记表示不存在的边；（∞）

• 2.1.1）邻接表的空间需求是 Θ(|V|^2)；如果图是稠密的：|E| = Θ(|V|^2) ， 则邻接矩阵是合适的表示方法；如果在大部分应用中，图都是稀疏的；

2.2）邻接表（图的标准表示方法）：如果图是稀疏的， 则使用邻接表来表示。对每一个顶点，我们使用一个表存放所有邻接的顶点。此时的空间需求为 O（|E| + |V|）；

• 2.2.1）引入散列表：在应用中，顶点都是名字而不是数字， 这些名字在编译时是未知的。由于我们不能够通过未知名字为一个数组做索引， 因此我们必须提供从名字到数字的映射。完成这项工作最容易的 方法是使用散列表， 在该散列表中我们对每个顶点存储一个名字以及一个范围在1到 |V| 之间的内部编号；
• 2.2.2）邻接表的一个荔枝：