机器学习方法：回归（三）：最小角回归Least Angle Regression（LARS），forward stagewise selection

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前面两篇回归（一）（二）复习了线性回归，以及L1与L2正则——lasso和ridge regression。特别描述了lasso的稀疏性是如何产生的。在本篇中介绍一下和lasso可以产生差不多效果的两种feature selection的方法，forward stagewise selection和最小角回归least angle regression（LARS）。尤其是LARS，网上很多资料写的不太清楚，我尽量写的清楚一点。本文主要是参考[1]的前面几章，大家可以直接看原文写的更清楚。

关于特征选择feature selection
在很多实际应用中，我们往往需要处理大量高维数据，其中存在很多噪音或者不相关的属性；而且维度越高计算量也越高。大多数工程师都会想到做一下特征选择，即挑选一部分有价值的属性维度用于计算，以期望在提高准确性的同时降低计算复杂度。那么如何进行特征选择呢？

一般来说可以分为有监督和无监督两大类，无监督的方法就是普适性的了，一般是希望从数据的分布、或者局部结构来找到区分性最好的属性，但是就是因为是无监督的，肯定不会对你所需要的任务有特别的倾向，选出来的不一定是最合适的特征。而有监督的选择肯定会基于训练样本的标记，使得选出来的特征会适合特定的任务，但是很难用到其他问题中。特征选择这个topic说实话被水了很多年，真正有价值的不见得多——很多以前觉得计算能力不足的问题选择随着CPU/GPU的性能提升，不再是瓶颈，那么很多降维的需求就没有了。现在还要做特征选择，一方面是希望找到真正有用的特征，另一方面是希望“稀疏”，事实证明稀疏性在提高模型的准确性以及降低overfitting方面都很有作用。

如果要看无监督的feature selection可以看一下浙大蔡登教授的Unsupervised Feature Selection for Multi-cluster Data [2]，方法简单实用；在本文中，我们主要讨论两种有监督的选择方法，并且是基于greedy思想的。这两个方法和LASSO非常相关，上一篇中我也提过，LASSO本身也可以用来做特征选择。

问题描述

在本文中，用下图中的数据为例子来说明：

表 1
用 X=(x1,x2,...,xn)T∈Rn×m 表示数据矩阵，其中 xi∈Rm 表示一个m维度长的数据样本； y=(y1,y2,...,yn)T∈Rn 表示数据的label，这里只考虑每个样本一类的情况。在表1的例子中， n=442，m=10 。另外，假设数据是经过一些预处理的：样本中心化并且是列单位长度的， y 是中心化的（减去均值），即

∑i=1nyi=0,∑i=1nxij=0,∑i=1nx2ij=1，j=1,2,…,m.

我们希望找到一个回归系数 β^∈Rm ，使得 μ^=Xβ^ 。Lasso的优化目标是这样的：

minβ^=12∥y−μ^∥2,s.t.∑j=1m|βj^|≤t

其中参数 t≥0 。很明，当 t 不断增大的时候，对 β^ 约束力就越来越小，当大到线性回归的 β^ 的 l1 -norm的时候就没有约束力了。见图1左边，表示 t 不断增大的过程中，所有十个 βj^ 的变化过程。很容易发现，在 t 比较小的时候，回归系数是稀疏的。比如在 t=1000 时，只有3、9、4、7维度是非零的。

图1

forward stagewise selection

forward stagewise selection方法，下面简称为stagewise，是一个迭代算法。选择过程从 μ^=0 开始，并且不断向前走很小的step来完成回归模型（回归系数）。具体的过程如下：

令当前的回归预测是 μ^ ，定义 c(μ^) 为当前的相关系数（current correlations）：

c=c(μ^)=X′(y−μ^)

也就是说， c^j 是正相关于维度 xj∈Rn 和当前残差的相关度。所以，下一步就是往相关系数最大的维度方向走一小步：

j^=argmax|c^j|andμ^→μ^+ϵ⋅sign(c^j^)⋅xj^

其中 ϵ 是一个很小的常数——很小是很有必要的，如果很大的话就容易错过一些中间状态——比如，如果 ϵ=|c^j^| 这么大的话stagewise方法就退化到了经典的“Forward Selection ”方法，是完全贪心选择的一次一个特征维度。但是在stagewise中，每次只会走很小一步，所以有可能在一个方向上走多步。图1的右图是stagewise的所有 βj^ 变化过程，大概有六千步很小的迭代，使得变化看起来很光滑。可以看到，Lasso和stagewise的结果看起来“几乎”是一样的，在比较小的 t 的时候都会产生类似的稀疏的结果。

stagwise方法非常简单，易于实现，但是主要的问题是需要有大量的迭代步骤，因此计算量会比较大。事实上，不论是Lasso还是Stagewise方法都是Least angle regression（LARS）的变种。LARS的选择不需要经历那么多小的迭代，可以每次都在需要的方向上一步走到最远，因此计算速度很快，下面来具体描述一下LARS。

最小角回归Least angle regression,LARS

先用一个两维的例子来描述LARS的思路，后面再描述下任意维度下的统一算法。
LARS算法也是要得到形式为 μ^=Xβ^ 的预测值，对于m维度的数据，最多只要m步就可以把所有的维度都选上，因此在迭代次数上是非常小的。下面图2说明了LARS在2维数据下的选择过程， X=(x1，x2) 。

图2

对于前面一节提到的相关系数，我们可以把 y 等价替换成其在由 x1，x2 所张成的空间中的投影 y¯2 ，即

c=c(μ^)=X′(y−μ^)=X′(y¯2−μ^)

算法也是从 μ^0=0 开始的，从图2可以看出， y¯2−μ^0 显然更靠近 x1 ，也就是说， c1(μ^0)>c2(μ^0) ，于是LARS会选 x1 走一步，使得

μ^1=μ^0+γ^1x1

（在这里，如果是stagewise就选很小的 γ^1 ；而如果是Forward Selection，会选择一个足够大的 γ^1 使得 μ^1=y¯1 ,即 y 在 x1 方向上的投影。）LARS会选择上面两个情况的一个中间结果——刚好使得 y¯2−μ^1 可以平分 x1 和 x2 之间的夹角，因此， c1(μ^1)=c2(μ^1) 。 图2中可以看到上面的选择结果， y¯2−μ^1 是坐落在单位向量 u2 的方向上的。下一步LARS的更新方向是：

μ^2=μ^1+γ^2u2

在 m=2 的情况下， γ^2 是需要选择合适的大小使得 μ^2=y¯2 ，得到线性回归的结果。如果 m>2 的情况下，LARS会继续探索更多的方向。图2中阶梯线表示stagewise的一个迭代过程，最后也攀爬到 y¯2 。因此，其实LARS和stagewise的区别就在于，我们是可以计算出在一个方向上需要走多远的。

下面我们来讨论一下多维情况，和前面 m=2 一样，LARS的每一步都是沿着某一个角平分线的方向上走的。假设 X 的列向量 x1,x2,…,xm 都是线性无关的。记 A 是 {1,2,…,m} 的一个子集，定义矩阵

XA=(⋯sjxj⋯)j∈A

其中符号 sj=±1 。定义 GA=XTAXA ，以及 AA=(1TAG−1A1A)−1/2 。其中 1A 表示全1向量，长度和 A 中的元素个数一样。对于 XA 的角平分线方向上的单位向量 uA 可以表示为：

uA=XAwA,wA=AAG−1A1A

使得和每一个 xj 都有相同的角度（小于90度），并且

XTAuA=AA1A,and∥uA∥2=1

上面的可以当做结论，可以跳过证明部分。
证明:
1、首先 uA 肯定可以表示成 XA 的线性组合形式 uA=XAwA ,这里向量 wA 还是未知的；
2、 uA 平分X_{\mathbf{A}} XA ，也就是说

XTAuA=XTAXAwA=z⋅1A

其中 z 是一个常数，则 wA=z(XTAXA)−11A ；并且 ∥uA∥2=1 ，所以

z21TA(XTAXA)−1XTAXA(XTAXA)−11A=1z=(1TA(XTAXA)−11A)−1/2

得证。

好，接下来可以给出LARS的统一过程了。

假设当前步骤下LARS的预测结果是 μ^A ，所以要求当前的相关系数：

c^=c(μ^A)=X′(y−μ^A)

集合 A 是其中拥有最大（绝对值）相关系数的维度的标号集合。

C^=maxj{|c^j|}andA={j:|c^j|=C^}

根据之前分析的，我们可以计算出

XA=(⋯sjxj⋯)j∈A

AA=(1TAG−1A1A)−1/2,GA=XTAXA

uA=XAwA,wA=AAG−1A1A

同时定义:

a=X′uA

那么下一步LARS更新 μ^A 会采用:

μ^A+=μ^A+γ^uA

γ^=min+j∈Ac⎧⎩⎨C^−c^jAA−aj,C^+c^jAA+aj⎫⎭⎬.

其中 min+ 表示取正数部分的最小值，并且会把这个最小 γ^ 值对应的 j^ 这个维度加入到选出来的特征维度集合 A 了。新的active set是 A+=A∪{j^} 。

证：
如果当前步骤下LARS的预测结果是 μ^A ，那么下步之后的预测（会加进一个维度j）就是

μ(γ)=μ^A+γuA

其中 γ>0 ，那么这个时候 X 所有维度 xj 的相关系数就是

cj(γ)=xTj(y−μ(γ))=xTj(y−(μ^A+γuA))=c^j−γaj

如果 j∈A （在当前已选的集合里），那么，

|cj(γ)|=C^−γ(XTAXAwA)j=C^−γAA

从前面的 AA=(1TAG−1A1A)−1/2 可以知道 AA>0 ，也就是说所有之前挑选出来的维度的相关系数（最大的相关系数）都等值地进行衰减（因为往 uA 走了一步，所以减去一个小的正值 γAA ）。

这个时候，对于那些 j∈Ac 的维度，如果要把一个j也加到 A 里面，就要 cj(γ)=c^j−γaj=C^−γAA ，此时可以算出一个 γ ；当然也可能相关系数是负的，所以 c^j−γaj=−(C^−γAA) ，此时也可以算出一个 γ ；所以实际上我们是取上面两个 γ 中的较小值，同时，对所有 j∈Ac 都要做check取出一个最小的 γ^ ，

γ^=min+j∈Ac⎧⎩⎨C^−c^jAA−aj,C^+c^jAA+aj⎫⎭⎬.

这个最小 γ^ 值对应的 j^ 这个维度就可以被加入到选出来的特征维度集合 A 了。新的active set是 A+=A∪{j^} 。最大（绝对值）相关系数是 C^−γ^AA 。

得证。

图3

图3是LARS的特征变化图，和图1类比，发现三种方法的结果看起来几乎都差不多，事实上他们也确实产生类似的稀疏系数。（关于LARS如何改造成LASSO可以参考[1]和[3]的先关章节，稍作修改即可，本文等后面有时间再补。）图3右图画的是相关系数的绝对值数值大小随着迭代选择的步数k的变化，

|c^kj|=|x′j(y−μ^k−1)|

可以看到不同的维度一旦被选择后就会一起衰减了，前面已经讨论过。

在LARS过程中，我们每一步都可以直接得到预测值 μ^A ，不过如果我们希望得到 μ^A=Xβ^A 中稀疏的 β^A （只有选出来的维度非零）。应该这么做呢？假设我们当前的 β^A 是已知了的，根据前面的讨论，下一步是

μ^A+=μ^A+γ^uA=Xβ^A+γ^XAwA=X(β^A+γ^δA)

其中 δA 是吧 wA 从 |A| 长扩展成m维度长——把 j∈A 位置的元素用 wA 中相应元素，其余位置补零。这样就得到了下一步的稀疏系数应该是 β^A+γ^δA 。

这一篇就写到这里，描述了两种和lasso相关性强的特征选择方法，都可以产生稀疏的结果。尤其是LARS，每次选择都可以最优策略地加进一个维度，使得最多m步就可以结束算法。本系列到目前为止的（一）（二）（三）都和线性回归相关，线性回归三部曲到这里就暂告段落；接下来准备写一下决策树、逻辑回归等基础。加油加油！

参考资料
[1] Bradley Efron，Least Angle Regression
[2] dengcai， Unsupervised Feature Selection for Multi-cluster Data，KDD2010
[3] The Elements of Statistical Learning