【BZOJ4318】OSU!【期望DP】

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考虑递推，用立方差公式转移，同时要维护E(x^3)，E(x^2)，E(x)，E(1)。

考虑第i次操作，设操作前末尾最长的1长度为x。

（1）如果操作失败，贡献为0；

（2）如果操作成功，贡献为(x+1)^3 - x^3。

那么期望为(1 - pi) * 0 + pi * ((x+1)^3 - x^3)。

化简一下答案为pi * ((x+1)^3 - x^3)。

注意我们并不知道x^3具体是多少，但是我们可以算出x^3的期望是多少，而且根据期望我们知道这样算出来一定是我们想要的结果。

假设我们已经知道E(x^3)，如何计算E((x + 1)^3)？考虑递推。

E(x^3) = 0^3 * P(x = 0) + 1^3 * P(x = 1) + ... + maxl^3 * P(x = maxl)

E((x + 1)^3)  = 1^3 * P(x = 0) + 2^3 * P(x = 1) + ... + (maxl + 1)^3 * P(x = maxl)

将第二个式子用二项式定理展开，然后将第一个式子带入，可以得到

E((x + 1)^3) = E(x^3) + 3E(x^2) + 3E(x) + E(1)。

那么我们同样递推维护E(x^2)，E(x)，E(1)就好了。

/* Footprints In The Blood Soaked Snow */
#include <cstdio>

typedef double DB;

int n;

int main() {
	DB E1 = 1.0, EX = 0.0, EX2 = 0.0, EX3 = 0.0, ans = 0.0;
	for(scanf("%d", &n); n; n--) {
		DB p; scanf("%lf", &p);
		ans -= EX3 * p;
		EX3 = p * (EX3 + 3 * EX2 + 3 * EX + E1);
		EX2 = p * (EX2 + 2 * EX + E1);
		EX = p * (EX + E1);
		E1 = p * E1 + 1 - p;
		ans += EX3;
	}
	printf("%.1lf\n", ans);
	return 0;
}