Havel-Hakimi定理
Havel定理描述
给定一个非负整数序列{d1,d2,...dn}，若存在一个无向图使得图中各点的度与此序列一一对应，则称此序列可图化。进一步，若图为简单图，则称此序列可简单图化。
可图化的判定比较简单：d1+d2+...dn=0(mod2)。关于具体图的构造，我们可以简单地把奇数度的点配对，剩下的全部搞成自环。
可简单图化的判定，有一个Havel定理，是说: 我们把序列排成不增序，即d1>=d2>=...>=dn，则d可简单图化当且仅当d'=(d2-1, d3-1, ... d(d1+1)-1, d(d1+2), d(d1+3), ... dn)可简单图化。这个定理写起来麻烦，实际上就是说，我们把d排序以后，找出度最大的点(设度为d1)，把它和度次大的d1个点之间连边，然后这个点就可以不管了，一直继续这个过程，直到建出完整的图，或出现负度等明显不合理的情况。
定理的简单证明如下:
(<=)若d'可简单图化，我们只需把原图中的最大度点和d'中度最大的d1个点连边即可，易得此图必为简单图。
(=>)若d可简单图化，设得到的简单图为G。分两种情况考虑:
(a)若G中存在边(V1,V2), (V1,V3), ...(V1,V(d1+1))，则把这些边除去得简单图G'，于是d'可简单图化为G'
给定一个非负整数序列{d1,d2,...dn}，若存在一个无向图使得图中各点的度与此序列一一对应，则称此序列可图化。进一步，若图为简单图，则称此序列可简单图化。
可图化的判定比较简单：d1+d2+...dn=0(mod2)。关于具体图的构造，我们可以简单地把奇数度的点配对，剩下的全部搞成自环。
可简单图化的判定，有一个Havel定理，是说: 我们把序列排成不增序，即d1>=d2>=...>=dn，则d可简单图化当且仅当d'=(d2-1, d3-1, ... d(d1+1)-1, d(d1+2), d(d1+3), ... dn)可简单图化。这个定理写起来麻烦，实际上就是说，我们把d排序以后，找出度最大的点(设度为d1)，把它和度次大的d1个点之间连边，然后这个点就可以不管了，一直继续这个过程，直到建出完整的图，或出现负度等明显不合理的情况。
定理的简单证明如下:
(<=)若d'可简单图化，我们只需把原图中的最大度点和d'中度最大的d1个点连边即可，易得此图必为简单图。
(=>)若d可简单图化，设得到的简单图为G。分两种情况考虑:
(a)若G中存在边(V1,V2), (V1,V3), ...(V1,V(d1+1))，则把这些边除去得简单图G'，于是d'可简单图化为G'
(b)若存在点Vi,Vj使得i<j, (V1,Vi)不在G中，但(V1,Vj)在G中。这时，因为di>=dj，必存在k使得(Vi, Vk)在G中但(Vj,Vk)不在G中。这时我们可以令GG=G-{(Vi,Vk),(V1,Vj)}+{(Vk,Vj),(V1,Vi)}。GG的度序列仍为d，我们又回到了情况(a)。
（以下演示转自 “每天进步一点点” 博客: http://sbp810050504.blog.51cto.com/2799422/883904）
Havel-Hakimi定理很容易理解：
三步走就可以了：
比如序列：4 7 7 3 3 3 2 1
|
下标
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
值
|
4
|
7
|
7
|
3
|
3
|
3
|
2
|
1
|
第一步：把序列按降序排序。
|
下标
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
值
|
7
|
7
|
4
|
3
|
3
|
3
|
2
|
1
|
第二步：删除第一个数7。序列变成
|
下标
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
|
值
|
7
|
4
|
3
|
3
|
3
|
2
|
1
|
第三步：从头开始，数7个数，也就是下标：[1,7]把[1,7]区间里的值都减1
由于第一个数已经删除，那么序列变成这样的了：
|
下标
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
|
值
|
6
|
3
|
2
|
2
|
2
|
1
|
0
|
然后：
重复第一步：排序。
重复第二步：删除第一个数6
重复第三步：从头开始数6个数：也就是下标【1,6】，把区间【1，6】中的数删除。序列变成：
|
下标
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
值
|
2
|
1
|
1
|
1
|
0
|
-1
|
由于已经出现了-1，而一个点的边数（度）不可能为负数。所以，我们就可以判定序列无法构成一个图，所以此序列是不可图的。
下面再举一个例子：
已经排序：
|
5
|
4
|
3
|
3
|
2
|
2
|
2
|
1
|
1
|
1.
|
删除第一个数5：
|
4
|
3
|
3
|
2
|
2
|
2
|
1
|
1
|
1.
|
把前面5个数减1：
|
3
|
2
|
2
|
1
|
1
|
2
|
1
|
1
|
1.
|
排序：
|
3
|
2
|
2
|
2
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1.
|
删除第一个数3：
|
2
|
2
|
2
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1.
|
把前面3个数减1：
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1.
|
排序：
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1.
|
删除第一个数1：
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1.
|
把前面1个数减1：
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1.
|
排序：
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
删除第一个数1：
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
把前面1个数减1：
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
排序：
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
依此类推：到最后只剩下：
|
0
|
0
|
0
|
0
|
由此判断该序列是可图的。
核心代码：
bool Havel_Hakimi(){
for(int i=0; i<n-1; ++i){
sort(arr+i,arr+n,greater<int>());
if(i+arr[i] >= n) return false;
for(int j=i+1; j<=i+arr[i] ; ++j){
--arr[j];
if(arr[j] < 0) return false;
}
}
if(arr[n-1]!=0) return false;
return true;
}
关于这个定理应用的题目：
1. poj 1659 ：
http://poj.org/problem?id=1659
2. UVa 10720 - Graph Construction:
http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=24&page=show_problem&problem=1661