HDU_4126 Genghis Khan the Conqueror 最小生成树

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4126

题意：

一个N个点的无向图，先生成一棵最小生成树，然后给你Q次询问，每次询问都是a,b,c的形式， 表示的意思是在原图中将a,b之间的边增大到c时，此时最小生成数的值是多少。最后求Q次询问最小生成树的平均值。 N<=3000 , Q<=10000

思路：

对于每次询问， 都是将a，b之间的边增加到c，如果边权增加的那条边原先就不在最小生成树中，那么这时候的最小生成树的值不变，如果在原最小生成树中，那么这时候将增加的边从原最小生成树中去掉，这时候生成树就被分成了两个各自联通的部分，可以证明的是，这时候的最小生成树一定是将这两部分联通起来的最小的那条边。下面问题就变成了这样，首先我们先求出最小生成树，然后将在最小生成树中边去掉，对于每条最小生成树中的边，我们要求出它的替代边， 并且要求该替代边最小。朴素的算法是O(n ^ 3)的，这个算法肯定会超时，需要优化。对于枚举每条生成树边复杂度为：O(n)这是不可能优化的，能优化的就是找两部分的最优替换边的O(n^2)复杂度，我们可以用预处理的方法，用f[i][j]表示整棵树以i为根，子树j到它的最小值的，这个过程可以在一边dfs就可以出来，复杂度是O(n) ， 接下来对于一条树边，我们只要再来一遍dfs求出该树的一边的点到另外一边的距离的最小值就可以得出最佳的替换边的长度了。总的复杂度为：O(n^2 + Q)

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <map>
#include <algorithm>
using namespace std;
int N, M , Q;
const int inf = (1 << 30)  ;
const int NN = 3010 ;
int f[NN][NN]  , org[NN][NN] ;
int head[NN] ;
int pnt[NN<<1] ,vv[NN<<1] , cnt;
int tot ;
int d[NN] , vis[NN] , from[NN] ;
map< pair<int, int> , int > mp ;

void add(int u , int v){
    pnt[cnt] = head[u] ;
    vv[cnt] = v ;
    head[u] = cnt ++ ;
}

void cal_mst(){
    memset( head , -1 , sizeof(head) )  ; cnt = 0 ;
    for(int i=0;i<N;i++){
        d[i] = f[0][i]  ; vis[i] = 0 ; from[i] = 0 ;
    }
    d[0] = 0 ; vis[0] = 1 ;
    for(int i=1;i<N;i++){
        int _min = inf , min_n ;
        for(int j=0;j<N;j++){
            if( vis[j] )    continue ;
            if( _min > d[j] ){
                _min = d[j] ; min_n = j ;
            }
        }
        vis[ min_n ] = 1 ;
        for(int j=0;j<N;j++){
            if( vis[j] )    continue ;
            if( d[j] > f[min_n][j] ){
                d[j] = f[min_n][j] ;
                from[j] = min_n ;
            }
        }
        int u = min_n , v = from[u] , w = f[u][v];
        tot += w ;
        add(u ,v) ; add(v , u) ;
        f[u][v] = f[v][u] = inf ;
    }
}

int dfs1(int x,  int fa,  int rt){
    for(int i=head[x] ; i!=-1 ; i=pnt[i] ){
        int y = vv[i] ;
        if( y == fa )   continue ;
        f[rt][x] = std::min( f[rt][x] , dfs1(y ,x  ,rt ) )  ;
    }
    return f[rt][x] ;
}

int dfs2(int x, int fa ,int rt ){
    int res = f[x][rt] ;
    for(int i=head[x] ; i!=-1 ; i=pnt[i] ){
        int v = vv[i] ;
        if( v == fa )   continue ;
        res = std::min( res , dfs2(v , x  ,rt) ) ;
    }
    return res ;
}

const double eps = 1e-10 ;
void solve(){
    scanf("%d",&Q);
//    printf("%d\n",tot)  ;
    int a, b, c ,res;
    int ans = tot , sum = 0 ;
    for( int i=0;i<Q;i++){
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        if( mp.count( make_pair(a,b) ) ){
//            printf("%d %d\n",org[a][b] , mp[ make_pair(a,b) ] );
            res = std::min( ans - org[a][b] + c , ans - org[a][b] + mp[ make_pair(a,b) ] );
        }
        else    res = ans ;
//        printf("%d\n",res);
        sum += res ;
    }
    printf("%.4lf\n",(double)sum/Q + eps ) ;
}

int main(){
    int a,b,c ;
    while( scanf("%d %d",&N,&M) && (N+M) ){
        for(int i=0;i<N;i++)    for(int j=0;j<N;j++)    org[i][j] = f[i][j] = inf ;
        for(int j=0;j<M;j++){
            scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
            org[a][b] = org[b][a] = f[a][b] = f[b][a] = c ;
        }
        tot = 0 ; cnt = 0 ;
        cal_mst() ;
        for(int i=0;i<N;i++)    dfs1(i , -1,  i) ;
        mp.clear() ;
        for(int i=0;i<N;i++){
//            printf("ROOT:%d\n",i);
            for(int j=head[i] ; j!=-1 ; j=pnt[j] ){
                int u = i  ;
                int v = vv[j] ;
                int w = dfs2(v , u , u) ;
                mp[ make_pair(u,v) ] = w ;
//                printf("%d %d   ",v , w );
            }
//            printf("\n");
        }
        solve() ;
    }
    return 0 ;
}