算法课笔记系列（三）—— 动态规划
这两周都太忙，所以上周也没总结。这周一起补上。
上周讲的是Matroid，一个非常抽象的概念，中文翻译为“拟阵”。这个内容放到下一篇博文中。这篇总结一下这周讲的“动态规划（Dynamic Programming， 简称DP）”。动态规划可以应用在生物信息学，控制理论，信息理论，运筹学（Operations research）和计算机科学中的理论、图像、人工智能、编译器等等。
首先，对着之前的算法思路进行一个对比：
【贪心算法】是对问题增量地建立一个解决方法，仅考虑当前情况下的最优，并不断优化标准；
【分治算法】是将一个问题分解为若干个规模相等的子问题，解出子问题，然后将子问题的解进行组合，得到原问题的解；
而【动态规划】，则是将一个问题分解为有重合部分的子问题，将子问题的解不断地扩大成更大的子问题的解，最终得出满足条件的原问题的解。
针对课堂上讲的案例，这里做了一个list总结：
（1）Weighted Intervan Scheduling
是不是觉得跟之前的贪心算法中的区间调度的例子很像？哈哈~其实就是一个问题，不过与之前贪心算法中不同的是，该区间调度是对每一个时间段给了一个权重，要解决的问题是同时兼容的任务的含有最大权重的子集。
当然，当所有任务的权重都等于1的时候，就变成典型的贪心算法了。我们回忆一下，在贪心算法中，对于该问题，我们是考虑最早结束时间，如果一个任务与之前选中的任务可以兼容，那么就加入到集合中。但是这种思路在权重任意并且不定的情况下是不可行的。反例如下：
对于该问题的考虑如下，首先按照任务的结束时间先后对任务进行排序编号，为f1,f2,…fn, 定义p(j)是任务i与任务j兼容的最大的索引项i。令OPT(j)为问题的最优解，包含任务1,2…任务j。
第一种情况：OPT选择任务j
此时，需要将任务j的权重加进来，不能加入不兼容的任务{p(j)+1,…,j-1},包含剩下的兼容的任务1,2,…p(j)问题的最优解。
第二种情况：OPT不选择任务j
这样，OPT一定包含剩下的兼容的任务1,2,…j-1问题的最优解。
针对该算法，使用暴力算法的话将会使得复杂度指数级增长，因此采用制表法/记忆法(Memoization)， 将每一个子问题的结果放在一个缓存中；可以是一个查找表。
（2）Segmented Least Squares
给出一个平面中的n个点：(x1,y1), (x2, y2),…(xn,yn).目标是找到一条直线y = ax + b使得所有点与该直线上的垂直点的平方差的和最小。
（3）背包问题
有一个背包和n个物品，第i个物品的重量为wi(kg)>0,价值为vi>0。背包的容量为W(kg),目标是装满背包使得总价值最大。
这是最典型的动态规划的算法之一。
（4）RNA secondary Structure
有一个字符串B =b1b2,…bn. 全为字母{A, C, G, U}组成。因为RNA是单链的结构，因此可以扩展为回环，组成碱基对。这样的结构对于理解分子结构很重要，该结构称为RNA的二级结构。目标是给定一个分子B = b1b2,…bn,找出一个二级结构S能够最大化碱基对的数目
（5）序列对齐
给定两个字符串，找出两个字符串对齐的最小损耗（可gap）。如下图所示：
后面几个问题的分析暂时没写，先把结论放这里。最近实在是太忙，有时间会补上。