B树(B-树)、B+树、AVL树、B*树
看数据结构的时候经常容易被各种树绕晕，所以重新整理下这些 纠结树。
1，B树(B-树)
注意，好多地方都喜欢说B-树，给人一种错觉B-树与B树是两种数据结构，其实是一种。
外文翻译的时候B-tree，有的人喜欢翻译成B-树，有的翻译为B树，所以才造成了这样的错觉。
先看看B树的数据结构：
这是从july算法的博客中拿过来的一个图
一颗m阶的B树是一颗平衡的m路搜索树，它或者为空树，或者满足下列条件：
1，每个结点最多有m个孩子
2，除根结点外，每个非叶子结点至少有[ceil(m/2)]个孩子结点,ceil(表示向上取整)
3，若根节点不是叶子结点，则它至少有2个孩子。
4，有k个孩子的非叶子结点恰好有k-1个关键码，关键码按递增次序排列。
5，所有的叶子结点都在同一层。B树的叶子结点可以看作一种外部结点，不包含任何信息
维基百科的定义：
B树的高度：
若B树某一非叶子节点包含N个关键字，则此非叶子节点含有N+1个孩子结点，而所有的叶子结点都在第K层，我们可以得出
1，因为根节点至少有2个孩子，所以第2层至少有2个结点
2，除根和叶子结点外，其他结点至少有[ceil(m/2)]个孩子，ceil()向上取整
3，第三层至少有2*[ceil(m/2)]个孩子
4，第四层至少有2*[ceil(m/2)^2]个孩子
5 ，第K层至少有2*[ceil(m/2)^(k-2)]个孩子，则N+1>=2*[ceil(m/2)^(k-2)]
6，考虑第K层的结点个数为N+1，那么2*[ceil(m/2)^(k-2)]<=N+1，也就是k层的最少结点数刚好达到N+1个，即： K≤ log┌m/2┐((N+1)/2 )+2；
一棵m阶的B+树和m阶的B树的异同点在于：
1.有n棵子树的结点中含有n-1 个关键字； (此处颇有争议，B+树到底是与B 树n棵子树有n-1个关键字 保持一致，还是不一致：B树n棵子树的结点中含有n个关键字，待后续查证。暂先提供两个参考链接：①wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/B%2B_tree#Overview；②http://hedengcheng.com/?p=525。而下面B+树的图尚未最终确定是否有问题，请读者注意)
2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)
3.所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)
B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：
其定义基本与B-树同，除了:
1).非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
2).非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；
3).为所有叶子结点增加一个链指针；
4).所有关键字都在叶子结点出现
为了全面 这里给出网上另外一种说法：
一棵m阶的B+树和m阶的B树的差异在于：
1.有n棵子树的结点中含有n个关键字； (而B 树是n棵子树有n-1个关键字)
2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)
3.所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)
下图给出典型的3阶B+树示例
B+的特性：
1).所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；
2).不可能在非叶子结点命中；
3).非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；
4).更适合文件索引系统；
3，B*树
B*Tree是B+树的变体，在B+Tree的非根和非叶子结点(内结点)再增加指向兄弟的指针
B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；
B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；
B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；
所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高。
4，AVL树
1. 概述
AVL树是最早提出的自平衡二叉树，在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。AVL树得名于它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL树种查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n），增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。本文介绍了AVL树的设计思想和基本操作。
2. 基本术语
有四种种情况可能导致二叉查找树不平衡，分别为：
（1）LL：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的左子树（Left），导致根节点的平衡因子由1变为2
（2）RR：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的右子树（Right），导致根节点的平衡因子由-1变为-2
（3）LR：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的右子树（Right），导致根节点的平衡因子由1变为2
（4）RL：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的左子树（Left），导致根节点的平衡因子由-1变为-2
针对四种种情况可能导致的不平衡，可以通过旋转使之变平衡。有两种基本的旋转：
（1）左旋转：将根节点旋转到（根节点的）右孩子的左孩子位置
（2）右旋转：将根节点旋转到（根节点的）左孩子的右孩子位置
3. AVL树的旋转操作
AVL树的基本操作是旋转，有四种旋转方式，分别为：左旋转，右旋转，左右旋转（先左后右），右左旋转（先右后左），实际上，这四种旋转操作两两对称，因而也可以说成两类旋转操作。
3.1 LL
LL情况需要右旋解决，如下图所示：
3.2 RR
RR情况需要左旋解决，如下图所示：
代码为：
3.3 LR
LR情况需要左右（先B左旋转，后A右旋转）旋解决，如下图所示：
3.4 RL
RL情况需要右左旋解决（先B右旋转，后A左旋转），如下图所示：
