算法学习 - 01背包问题（动态规划C++）

动态规划

我在上一篇博客里已经讲了一点动态规划了，传送门：算法学习 - 动态规划(DP问题)(C++)

这里说一下，遇到动态规划应该如何去想，才能找到解决办法。

最主要的其实是要找状态转移的方程，例如上一篇博客里面，找的就是当前两条生产线的第i个station的最短时间和上一时刻的时间关系。

minTime(station[1][i]) = minTime(station[1][i-1] + time[i], station[2][i-1] + time[i] + trans[i-1])

今天要讲的问题是01背包问题。

01背包

问题描述

01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。

求解这个背包能装的最大价值。（物体不能分割）。

求解思路

这个其实比上一道题难在哪里了呢？
难在上一题装配线始终是两个，不会多，不会少。我们变化的量只有装配站的多少。

这个题目变化的量一个是物品的数量，还有一个是背包的空间。就是说装配线不会随着station的多少而变化，但是背包的空间会随着物品的装入而变化。

所以我们需要做的是判断当背包剩余的空间为j的时候，能否装入第i个物品，并且总价值增加。
即：

d[j] = max ( d[j], d[j-v[i]] + w[i]); //v[i]表示第i个物品的体积，w[i]表示第i个物品的价值。

其实我最开始看到上面这个状态转移的方程的时候，觉得这不是肯定的在空间j的时候放入物品，价值大于不放入物品的。毕竟只要放入就证明增加了价值啊。

其实不是这个样子的，因为只有在最开始都没有装入的时候，所有的都是0. 装入就一定价值增加。但是假如我们的物品如下：

物品1： 空间 2 价值 5
物品2： 空间 4 价值 3

当我们放入第一件物品的时候，假设背包空间是5，那么d[2…5]都是为 5. 因为d[0…1]空间不够所以为0。 当我们放入物品2的时候，d[5] = 5 > d[5 - 4] + 3 因为d[1] = 0;。

发现了没有！ 并不是放入就一定总价值增加！

所以我们遍历所有物品，从第一个物品开始，找当空间为j的时候，装入物品是否会增加价值！

代码实现

代码其实行数很少，不好看那些写了两个屏幕的，可能并没有更多的功能。

//
// main.cpp
// DP_01backpack
//
// Created by Alps on 15/4/28.
// Copyright (c) 2015年 chen. All rights reserved.
//
// 代码中直接定义了石头的数量和背包的空间，其实可以不用提前定义。
// 这里为了方便，而且在C++ 11中可以动态规定数组大小。

#include <iostream>
using namespace std;

#ifndef STONE_NUM
#define STONE_NUM 5 //定义石头数量
#endif

#ifndef BACKPACK_SPACE
#define BACKPACK_SPACE 10
#endif

int main(int argc, const char * argv[]) {
    int stoneSpace, stoneValue;//保存当前输入的物品空间和价值
    int value[BACKPACK_SPACE+1] = {0}; //初始化value数组
    for (int i = 0; i < STONE_NUM; i++) {
        scanf("%d %d", &stoneSpace, &stoneValue);//接收物品输入
        for (int j = BACKPACK_SPACE; j > 0; j--) {//当背包空间在不同的时候，** j 一定是从大到小**
            if (j >= stoneSpace && value[j] < (value[j-stoneSpace] + stoneValue)) {//假如背包空间足够，并且放入总价值增加
                value[j] = value[j-stoneSpace] + stoneValue;//放入，并更新总价值
            }
        }
    }
    printf("%d\n", value[BACKPACK_SPACE]);
    return 0;
}

这里解释下，为何第二层for循环里，j 是从最大变化到最小的。因为我们比较的是当前物品放入，价值是否有变化，就是 value[j] 和 value[j - v] 比较。 假如更新了，那么 value[j + 1] 需要和 value[j + 1 - v] 比较的值，可能 value[j + 1 - v]已经被更新过了。就不行了！因为那个时候value[j + 1 -v]的总价值已经算上当前的物品了。再算就重复了。

放入哪些物品

上面的代码没有知道到底放入了哪些物品，其实是因为为了节省空间，没有保存每个 stoneSpace和 stoneValue.
所以我们把它们变成数组就好了。

然后我们首先要做的是：找到一共背包用了多少空间！

这个很重要，因为背包的最大价值不一定是装满了，所以我们要找到用了多少空间，才能知道到底放入了哪些物品。

怎么找呢？

假如我们的value数组如下：

0
0
4
6
9
10
13
15
15
19
19

很容易知道，这个背包剩余了一个空间? 为什么呢，因为最大的19有两个，j 多了1但是价值没有增加，说明这 1的空间没有放入物品，也就是空余了。

这样找到第一个最大得数的下标，就是使用的空间了。

代码

比较简单，只不过多了一步查找那些物品放入了，就是当背包空间减去物品空间，总价值也刚好增加了物品的价值数量，那么说明这个物品被放入了。

代码如下：

//
// main.cpp
// DP_01backpack
//
// Created by Alps on 15/4/28.
// Copyright (c) 2015年 chen. All rights reserved.
//
// 代码中直接定义了石头的数量和背包的空间，其实可以不用提前定义。
// 这里为了方便，而且在C++ 11中可以动态规定数组大小。

#include <iostream>
using namespace std;

#ifndef STONE_NUM
#define STONE_NUM 5 //定义石头数量
#endif

#ifndef BACKPACK_SPACE
#define BACKPACK_SPACE 10
#endif

int main(int argc, const char * argv[]) {
    int value[BACKPACK_SPACE+1] = {0};
    int stoneSpace[STONE_NUM],stoneValue[STONE_NUM];
    for (int i = 0; i < STONE_NUM; i++) {
        scanf("%d %d", &stoneSpace[i], &stoneValue[i]);
        for (int j = BACKPACK_SPACE; j > 0; j--) {
            if (j >= stoneSpace[i] && value[j] < value[j-stoneSpace[i]] + stoneValue[i]) {
                value[j] = value[j-stoneSpace[i]] + stoneValue[i];
            }
        }
    }//以上代码几乎无变化，只是存储是数组存储了。
    for (int i = 0; i <= BACKPACK_SPACE; i++) {
        printf("%d\n", value[i]);
    }//打印value数组，这里面存放的是，所有物品在背包只有空间i的时候，达到的最大总价值。

    int backPackSpace = BACKPACK_SPACE;// 得到背包空间
    while (value[backPackSpace] == value[backPackSpace-1]) {
        backPackSpace--;//假如背包价值和背包空间-1的时候价值相同，空间 -1
    }//找到一共使用了多少空间
    for (int i = STONE_NUM-1; i >= 0; i--) {
        if (value[backPackSpace] == value[backPackSpace-stoneSpace[i]] + stoneValue[i]) { //假如减去当前物品的空间，总价值刚好和物品的价值相等，说明此物品被放入了。
            printf("%d ", i+1);//打印这个物品。i+1是因为物品的下标是从0开始的。
            backPackSpace = backPackSpace - stoneSpace[i]; //背包放入了这个物品，自然空间减少了。
        }
    }

    return 0;
}

整个代码比较简单。 有疑问的留言，可以相互交流。

我看了一篇其他博客，用二维矩阵入门，也觉得很棒。推荐：http://www.hawstein.com/posts/dp-knapsack.html